Pembahasan soal Ujian Nasional $(UN)$ SMA bidang studi Matematika IPA untuk pokok bahasan Persamaan Kuadrat yang meliputi jenis-jenis akar persamaan kuadrat, jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dan menyusun persamaan kuadrat baru.
Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat
D ≥ 0 : dua akar real/nyata
D > 0 : dua akar real berlainan
D = 0 : dua akar real sama/kembar
D < 0 : akar tidak real $(imajiner)$
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ adalah α dan β, maka :
α + β = $-\frac{b}{a}$
αβ = $\frac{c}{a}$
Untuk α = nβ berlaku : $nb^{2}=ac(n+1)^{2}$
Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β adalah
$x^2 - (α + β)x + αβ = 0$
Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ adalah α dan β, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
- α + n dan β + n
$a(x{\color{Green} -n)}^{2}+b(x{\color{Green} -n)}+c=0$
- α - n dan β - n
$a(x{\color{Green} +n)}^{2}+b(x{\color{Green} +n)}+c=0$
- nα dan nβ
$ax^{2}+b{\color{Red} n}x+c{\color{Red} n^{2}}$Pertidaksamaan Kuadrat
Misalkan p dan q adalah akar-akar dari $ax^2 + bx + c = 0$ dengan a > 0. Untuk p < q berlaku
$ax^2 + bx + c < 0$ → HP = {p < x < q}
$ax^2 + bx + c > 0$→ HP = {x < p atau x > q}
Pembahasan Soal Matematika - Persamaan Kuadrat
1. UAN 2003
Persamaan kuadrat $(k + 2)x^2 - (2k - 1)x + k - 1 = 0$ mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah...
A. $\frac{9}{8}$ B. $\frac{8}{9}$ C. $\frac{5}{2}$ D. $\frac{2}{5}$ E. $\frac{1}{5}$
Pembahasannya :
a = k + 2
$b = -(2k - 1) = 1 - 2k$
c = k - 1
Akar-akar nyata dan sama ⇒ D = 0
$b^2 - 4ac = 0$
$(1 - 2k)^2 - 4(k + 2)(k - 1) = 0$
$1 - 4k + 4k^2 -4(k^2 + k - 2) = 0$
$1 - 4k + 4k^2 - 4k^2 - 4k + 8 = 0$
$9 - 8k = 0$
$k =\frac{9}{8}$
$a = k + 2 = \frac{9}{8} + 2 = \frac{25}{8}$
$b = 1 - 2k = 1 - 2(\frac{9}{8}) = -\frac{5}{4}$
Misalkan akar-akar PK diatas adalah α dan β, maka jumlah kedua akar-akarnya adalah
α + β = $-\frac{b}{a}$
α + β = $-\frac{\left ( -\frac{5}{4} \right )}{\frac{25}{8}}$
α + β = $\frac{2}{5}$
Jawaban : D
2. UAN 2003
Jika akar-akar persamaan kuadrat $3x^2 + 5x + 1 = 0$ adalah α dan β, maka nilai $\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}$ sama dengan...
A. 19 B. 21 C. 23 D. 34 E. 25
Pembahasannya :
α + β = $-\frac{b}{a} =-\frac{5}{3}$
αβ = $\frac{c}{a} = \frac{1}{3}$
$\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}$=$\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha ^{2}\beta ^{2}}$
$\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}$=$\frac{(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta }{(\alpha \beta )^{2}}$
$\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}$=$\frac{(-\frac{5}{3} )^{2}-2(\frac{1}{3}) }{(\frac{1}{3} )^{2}}$
$\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}$= 19
Jawaban : A
3. UN 2004
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan −2 adalah...
A. $x^2 + 7x + 10 = 0$
B. $x^2 + 3x - 10 = 0$
C. $x^2 - 7x + 10 = 0$
D. $x^2 - 3x - 10 = 0$
E. $x^2 + 3x + 10 = 0$
Pembahasannya :
α = 5
β = −2
$x^2 - (\alpha + \beta )x + \alpha \beta = 0$
$x^2 - (5 + (-2))x + 5(-2) = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Jawaban : D
4. UN 2007
Persamaan kuadrat $x^2 - 3x -10 = 0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_{1}-3$ dan $x_{2}-3$ adalah...
A. $x^2- 2x = 0$
B. $x^2- 2x + 30 = 0$
C.$ x^2 + x = 0$
D.$ x^2 + x -30 = 0$
E. $x^2 + x + 10 = 0$
Pembahasannya :
Cara I
Jumlah dan hasil kali akar PK awal :
$x_1 + x_2 =-\frac{b}{a} = -\frac{\left ( -5 \right ) }{1}$ = 5
$x_1 + x_2 = \frac{c}{a} = \frac{6}{1}$ = 6
Misalkan akar-akar PK baru p dan q
p = $x_1 - 3$
q = $x_2 - 3$
Jumlah dan hasil kali akar PK baru :
$p + q = (x_1 - 3) + (x_2 - 3)$
$p + q = x_1 + x_2 - 6$
$p + q = 5 - 6$
$p + q = -1$
$pq = (x_1 - 3)(x_2 - 3)$
$pq = x_1 x_2 - 3(x_1 + x-2) + 9$
$pq = 6 - 3(5) + 9$
$pq = 0$
PK baru :
$x^2 - (p + q)x + pq = 0$
$x^2 - (-1)x + 0 = 0$
$x^2 + x = 0$
Cara II
Akar-akar PK baru : $x_1 -3 dan $x_2- 3$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
$(x + 3)^2 - 5(x + 3) + 6 = 0$
$x^2 + 6x + 9 - 5x - 15 + 6 = 0$
$x^2 + x = 0$
Jawaban : C
5. UN 2009
Akar-akar persamaan $x^2 + (2a- 3)x + 18 = 0$ adalah p dan q. Jika p = 2q, untuk p > 0, q > 0. Nilai a − 1 = ...
A. −5 B. −4 C. 2 D. 3 E. 4
Pembahasannya :
a = 1 ; b = 2a − 3 ; c = 18
p = 2q
$pq = \frac{c}{a}$
$(2q)q = \frac{18}{1}$
$2q^2 = 18$
$q^2 = \frac{18}{2}$
$q^2 = 9$
$q=\sqrt{9}$
$q=\pm 3$
Karena q > 0, maka q = 3
$p + q =-\frac{b}{a}$
$(2q) + q = -\frac{2a-3}{1}$
$3q = 3 - 2a$
$3(3) = 3- 2a$
a = -3
Jadi, a − 1 = −4
Jawaban : B
6. UN 2009
Persamaan kuadrat $3x^2 + 6x -1 = 0$ mempunyai akar α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akarnya 1 − 2α dan 1 − 2β adalah...
A. $3x^2 − 18x − 37 = 0 $ B. $3x^2 − 18x + 13 = 0 $ C. $3x^2 − 18x + 11 = 0$
D. $x^2 − 6x − 37 = 0$ E. $x^2 − 6x + 11 = 0$
Pembahasannya :
Akar-akar PK baru dapat ditulis menjadi
−2α + 1 dan −2β + 1
$3x^2 + 6x - 1 = 0$
$3(x -1)2 + 6(-2)(x - 1) - 1(-2)2 = 0$
$3(x^2 - 2x + 1) - 12(x -1) - 4 = 0$
$3x^2 - 6x + 3 - 12x + 12- 4 = 0$
$3x^2 - 18x + 11 = 0$
Jawaban : C
7. UN 2010
Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2 + mx + 16 = 0$ adalah α dan β. Jika α = 2β dan α, β positif, maka nilai m = ...
A. −12 B. −6 C. 6 D. 8 E. 12
Pembahasannya :
a = 1 ; b = m ; c = 16
α = 2β
αβ = $\frac{c}{a}$
$(2β)β$ = $\frac{16}{2}$
β2 = 4
β = ±2
karena β positif maka β = 2
$\alpha +\beta=-\frac{b}{a}$
$(2\beta) + \beta =\frac{m}{2}$
$3\beta =-\frac{m}{2}$
$3(2)=-\frac{m}{2}$
$m = -12$
Jawaban : A
8. UN 2010
Jika p dan q adalah akar-akar persamaan $x^2 -5x -1 = 0$, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah...
A. $x^2 + 10x + 11 = 0$
B. $x^2 -10x + 7 = 0$
C. $x^2 -10x + 11 = 0$
D. $x^2 - 12x + 7 = 0$
E. $x^2 - 12x - 7 = 0$
Pembahasannya :
Akar-akar PK baru
2p + 1 dan 2q + 1
$x^2 - 5x - 1 = 0$
$(x - 1)^2 - 5(2)(x -1) - 1(22) = 0$
$x^2 -2x + 1 - 10x + 10 -4 = 0$
$x^2 -12x + 7 = 0$
Jawaban : D
9. UN 2011
Akar-akar persamaan $3x^2 -12x + 2 = 0$ adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya [α + 2] dan [β + 2] adalah...
A. $3x^2 - 24x + 38 = 0$
B. $3x^2 + 24x + 38 = 0$
C. $3x^2 - 24x - 38 = 0$
D. $3x^2 - 24x + 24 = 0$
E. $3x^2 -24x - 24 = 0$
Pembahasannya :
Akar-akar PK baru
[α + 2] dan [β + 2]
$3x^2 - 12x + 2 = 0$
$3(x - 2)^2 -12(x -2) + 2 = 0$
$3(x^2- 4x + 4) -12(x - 2) + 2 = 0$
$3x^2 -12x + 12 -12x + 24 + 2 = 0$
$3x^2 - 24x + 38 = 0$
Jawaban : A
10. UN 2012
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + ax - 4 = $0 adalah p dan q. Jika $p^2 - 2pq + q^2 = 8a$, maka nilai a = ...
A. −8 B. −4 C. 4 D. 6 E. 8
Pembahasannya :
a = 1 ; b = a ; c = −4
Jumlah dan hasil kali akar-akar :
p + q =$-\frac{b}{a} =-\frac{a}{1}$= −a
pq =$\frac{c}{a} = \frac{-4}{1}$ = −4
$p^2-2pq + q2 = 8a$
$p^2 + q2 - 2pq = 8a$
$(p + q)^2- 2pq -2pq = 8a$
$(p + q)^2 -4pq = 8a$
$(-a)^2 - 4(-4) = 8a$
$a^2 - 8a + 16 = 0$
$(a - 4)(a- 4) = 0$
a = 4
Lanjutkan ke soal 11 -20
