Turunan Fungsi Trigonometri
A. Rumus Dasar
1. $f\left (x \right )=$ sin $\left ( x \right )\Rightarrow f '\left (x \right ) = cos$ x
2. $f\left ( x \right )=$ cos x $\Rightarrow f '\left ( x \right ) = -sin$ $x$
1. $f\left (x \right )=$ sin $\left ( x \right )\Rightarrow f '\left (x \right ) = cos$ x
2. $f\left ( x \right )=$ cos x $\Rightarrow f '\left ( x \right ) = -sin$ $x$
3. $f\left ( x \right )=$ tan x $\Rightarrow f'\left ( x \right ) = sec$ $2x$
4. $f\left ( x \right )=$ cot x $\Rightarrow f '\left ( x \right ) =-csec$ 2x
5. $f\left ( x \right )=$ sec x $\Rightarrow f '\left ( x \right ) = sec$ x . tan x
6. $f\left ( x \right )=$ csc x $\Rightarrow f '(x) =-csc$ x . cot x
TipsB. Perluasan Rumus
Setiap fungsi trigonometri yang dimulai dengan huruf c, maka turunannya akan bernilai negatif.
Jika u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x dengan u' adalah turunan u terhadap x, maka :
1. $f(x) =$ sin u $\Rightarrow f '(x) = cos$ u . u'
2. $f(x) =$ cos u $\Rightarrow f '(x) =-sin$ u . u'
3. $f(x) =$ tan u $\Rightarrow f '(x) = sec^{2}$u . u'
3. $f(x) =$ tan u $\Rightarrow f '(x) = sec^{2}$u . u'
4. $f(x) =$ cot u $\Rightarrow f '(x) =-csc^{2}$u . u'
5. $f(x) =$ sec u $\Rightarrow f '(x) = sec$ u tan u . u'
6. $f(x) =$ csc u $\Rightarrow f '(x) = -csc$ u cot u . u'
Tentukan turunan dari y = sin 4x !
Penyelesaian :
Misalkan :
u = 4x ⇒ u' = 4
y' = cos u . u'
y' = cos 4x . 4
y' = 4cos 4x
Contoh 2
Tentukan turunan dari y = $cos x^{2}$
Penyelesaian :
Misalkan :
u = $x^{2}$ ⇒ u' = 2x
y' = −sin u . u'
y' = −sin $x^{2}$ . 2x
y' = −2x sin x2
Contoh 3
Tentukan turunan dari y = tan (2x+1)
Penyelesaian :
Misalkan :
u = 2x + 1 ⇒ u' = 2
y' = $sec^{2}$u . u'
y' = $sec^{2}\left (2x+1 \right )$ . 2
y' = 2$sec^{2}\left (2x+1 \right )$
Contoh 4
Tentukan turunan dari y = sec $\frac{1}{2}x$
Penyelesaian :
Misalkan :
u = $\frac{1}{2}x \Rightarrow u' = \frac{1}{2}$
y' = sec u tan u . u'
y' = sec $\frac{1}{2}x$ tan $\frac{1}{2}x . \frac{1}{2}$
y' = $\frac{1}{2}$ sec $\frac{1}{2}x$ tan $\frac{1}{2}x$
D. Turunan y = $[u(x)]^{N}$
Misalkan y = $[u(x)]^{N}$ dengan $\left ( x \right )$ adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x. Turunan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai berikut :
Contoh 5
Tentukan turunan dari y = $cos^{5}7x$
Penyelesaian :
y = $[cos 7x]^{5}$
Misalkan :
u(x) = cos 7x ⇒ u'(x) = −7sin 7x
n = 5
y' = $n[u\left (x \right )]^{n-1}. u'(x)$
y' = $5[cos 7x]^{5-1}. -7sin 7x$
y' = $-35 cos^{4}7x . sin 7x$
Contoh 6
Tentukan turunan dari $y = sin^{7}(4x-3)$
Penyelesaian :
y =$ [sin \left (4x-3 \right )]^{7}$
Misalkan :
u(x) = sin (4x−3) ⇒ u'(x) = 4cos (4x−3)
n = 7
y' = $n[u\left (x \right )]^{n-1}. u'(x)$
y' = $7[sin \left (4x-3 \right )]^{7-1} . 4cos (4x-3)$
y' = $28 sin^{6}\left (4x-3 \right ) cos (4x-3)$
Catatan
Hasil akhir masih bisa diubah-ubah bentuknya menyesuaikan jawaban yang diminta dari soal, yaitu dengan menggunakan sifat-sifat atau identitas dari trigonometri.
Contoh 4
Tentukan turunan dari y = sec $\frac{1}{2}x$
Penyelesaian :
Misalkan :
u = $\frac{1}{2}x \Rightarrow u' = \frac{1}{2}$
y' = sec u tan u . u'
y' = sec $\frac{1}{2}x$ tan $\frac{1}{2}x . \frac{1}{2}$
y' = $\frac{1}{2}$ sec $\frac{1}{2}x$ tan $\frac{1}{2}x$
D. Turunan y = $[u(x)]^{N}$
Misalkan y = $[u(x)]^{N}$ dengan $\left ( x \right )$ adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x. Turunan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai berikut :
$y'=n\left [ u\left ( x \right ) \right ]^{n-1}.u'\left ( x \right )$
Contoh 5
Tentukan turunan dari y = $cos^{5}7x$
Penyelesaian :
y = $[cos 7x]^{5}$
Misalkan :
u(x) = cos 7x ⇒ u'(x) = −7sin 7x
n = 5
y' = $n[u\left (x \right )]^{n-1}. u'(x)$
y' = $5[cos 7x]^{5-1}. -7sin 7x$
y' = $-35 cos^{4}7x . sin 7x$
Contoh 6
Tentukan turunan dari $y = sin^{7}(4x-3)$
Penyelesaian :
y =$ [sin \left (4x-3 \right )]^{7}$
u(x) = sin (4x−3) ⇒ u'(x) = 4cos (4x−3)
n = 7
y' = $n[u\left (x \right )]^{n-1}. u'(x)$
y' = $7[sin \left (4x-3 \right )]^{7-1} . 4cos (4x-3)$
y' = $28 sin^{6}\left (4x-3 \right ) cos (4x-3)$
Catatan
Hasil akhir masih bisa diubah-ubah bentuknya menyesuaikan jawaban yang diminta dari soal, yaitu dengan menggunakan sifat-sifat atau identitas dari trigonometri.
