Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah p dan q, maka persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan cara :
1. Mengalikan faktor
$\left (x-p \right )\left (x-q \right )=0$
Sebagai contoh, jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah −1 dan 3, maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
$\left ( x+1 \right )\left ( x-3 \right )=0$
$x^{2}-2x-3=0$
2. Menyusun jumlah dan hasil kali
$x^{2}-\left ( p+q \right )x+pq=0$
Sebagai contoh, jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah −1 dan 3, maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
$x^{2}-\left (-1 + 3 \right )x +\left ( -1 \right ) 3 = 0$
$x^{2}-2x -3 = 0$
Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ adalah $\alpha $ dan $\beta $, maka persamaan kuadrat baru yang jumlah dan hasil kali akar-akarnya dapat dinyatakan dalam $\alpha +\beta $ dan/atau αβ dapat disusun dengan cara :
- Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat awal.
- Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru.
$x^{2}-\left ( p+q \right )x+pq=0$
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh 1
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+2x-3=0$ adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\alpha +2$ dan $\beta +2$
Jawab :
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal :
α + β = $-\frac{b}{a}= -\frac{2}{1}= -2$
αβ = $\frac{c}{a} = \frac{-3}{1}= -3$
Misalkan p = α + 2 dan q = β + 2
Jumlah dan hasil akar-akar PK baru :
p + q = $\left (\alpha + 2 \right )+\left (\beta + 2 \right )$
p + q = α + β + 4
p + q = −2 + 4
p + q = 2
pq = $\left (\alpha + 2 \right )\left (\beta + 2 \right )$
pq = αβ + 2$\left ( \alpha +\beta \right )$ + 4
pq = −3 + 2(−2) + 4
pq = −3
Susun persamaan kuadrat baru :
$x^{2}-\left ( p+q \right )x+pq=0$
$x^{2}-2x-3=0$
Contoh 2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+5x+2=0$ adalah...
Jawab :
Jika dimisalkan akar-akar persamaan kuadrat awal adalah α dan β, maka jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal adalah :
α + β = $-\frac{b}{a}=-\frac{5}{1}= -5$
αβ =$ \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2$
Misalkan p = 3α dan q = 3β
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK baru :
p + q = 3α + 3β
p + q = 3$\left ( \alpha +\beta \right )$
p + q = 3$\left ( -5 \right )$
p + q = −15
pq = 3α . 3β
pq = 9 αβ
pq = 9 $\left ( 2 \right )$
pq = 18
Susun persamaan kuadrat baru :
$x^{2}-\left ( p+q \right )x+pq=0$
$x^{2}-\left ( -15 \right )x+18=0$
$x^{2}+15x+18=0$
$x^{2}-\left ( -15 \right )x+18=0$
$x^{2}+15x+18=0$
Contoh 3
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-3x+2=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\frac{1}{x_{1}}$ dan $\frac{1}{x_{2}}$ adalah ...
Jawab :
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK awal :
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{\left ( -3 \right )}{1}=3$
$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{ 2 }{1}=1$
Misalkan $p=\frac{1}{x_{1}}$ dan $q=\frac{1}{x_{2}}$
Jumlah dan hasil kali akar-akar PK baru :
$p + q = \frac{1}{x_{1}} +\frac{1}{x_{2}}$
$p + q = \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$
$p + q = \frac{3}{2}$
$pq = \frac{1}{x_{1}} .\frac{1}{x_{2}}$
$pq = \frac{1}{x_{1}x_{2}}$
$pq=\frac{1}{2}$
Susun persamaan kuadrat baru :
$x^{2}-\left ( p+q \right )x+pq=0$
$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$ Semuanya dikali 2
$2x^{2}-2x+1=0$
Contoh 4
Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a. α + n dan β + n
b. α − n dan β − n
c. nα dan nβ
d.$ \frac{1}{\alpha}$ dan$\frac{1}{\beta}$
Jawab :
(a). α + n dan β + n
$α + β =-\frac{b}{a}$
αβ = $\frac{c}{a}$
Misalkan p = α + n dan q = β + n, akibatnya
p + q = (α + n) + (β + n)
p + q = α + β + 2n
$p + q = -\frac{b}{a} + 2n$
$p + q = \frac{-b+2an}{a}$
$pq = (α + n) (β + n)
$pq = αβ + n(α + β) + n^{2}$
$pq =\frac{c}{a}+ n\left ( -\frac{b}{a} \right ) + n^{2}$
$pq = \frac{c-nb+an^{2}}{a}$
Susun PK baru :
$x^{2}-\left ( p+q \right )x + pq =0$
$x^{2}-\left ( \frac{-b+2an}{a}\right )x + \frac{c-nb+an^{2}}{a} =0$, dikali a
$ax^{2}-\left (-b+2an\right )x + c-nb+an^{2}=0$
$ax^{2}+bx+2anx +c-nb+an^{2}$
$ax^{2}+2anx+an^{2}+bx-nb+c$
$ax^{2}+bx+2anx +c-nb+an^{2}$
$ax^{2}+2anx+an^{2}+bx-nb+c$
$a\left (x^{2}+2nx+n^{2} \right )+b\left (x-n \right )+c$
$a\left (x-n \right )^{2}+b\left (x-n \right )+c$
$a\left (x-n \right )^{2}+b\left (x-n \right )+c$
Jadi, Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α + n dan β + n adalah
$a\left (x-n \right )^{2}+b\left (x-n \right )+c=0$
Dengan cara yang sama, akan diperoleh :
(b). Untuk akar-akar α − n dan β − n :
$a\left (x-n \right )^{2}+b\left (x-n \right )+c=0$
(c). Untuk akar-akar nα dan nβ :
$ax^{2}+bnx+cn^{2}=0$
(d). Untuk akar-akar $\frac{1}{\alpha}$ dan $\frac{1}{\beta}$:
$cx^{2}+bx+a=0$
Contoh 5
Jika akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+3x+1=0$ adalah α dan β, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a. α + 2 dan β + 2
b. α − 1 dan β − 1
c. 4α dan 4β
d.$ \frac{1}{\alpha}$dan $\frac{1}{\beta}$
e. 2α − 1 dan 2β − 1
f. 1 − 4α dan 1 − 4β
g.$ -\frac{2}{\alpha} dan-\frac{2}{\beta}$\)
Petunjuk : Gunakan sifat pada contoh 4
Jawab :
PK awal : $2x^{2} + 3x + 1 = 0$
(a). α + 2 dan β + 2
Kedua akar ditambah 2, maka PK baru :
$2(x-2)^{2} + 3(x - 2) + 1 = 0$
$2x^2-8x + 8 + 3x -6 + 1 = 0$
$2x^2-5x + 3 = 0$
$2x^2-8x + 8 + 3x -6 + 1 = 0$
$2x^2-5x + 3 = 0$
(b). α − 1 dan β − 1
Kedua akar dikurang 1, maka PK baru :
$2(x + 1)^2 + 3(x + 1) + 1 = 0$$2x^2 + 4x + 2 + 3x + 3 + 1 = 0$
$2x^2 + 7x + 6 = 0$
(c). 4α dan 4β
Kedua akar dikali 4, maka PK baru :
$2x^2 + 2(4)x + 1(4^2) = 0$$2x^2 + 12x + 16 = 0$
$x^2 + 6x + 8 = 0$
d). $ \frac{1}{\alpha}$dan $\frac{1}{\beta}$
Kedua akar dibalik, maka PK baru :
$1x^2 + 3x + 2 = 0$$x^2 + 3x + 2 = 0$
(e). 2α − 1 dan 2β − 1
Kedua akar dikali 2 dan dikurang 1, maka PK baru :
$2(x + 1)^2 + 3(2)(x + 1) + 1(2^2) = 0$$2x^2 + 4x + 2 + 6x + 6 + 4 = 0$
$2x^2 + 10x + 12 = 0$
$x^2 + 5x + 6 = 0$
(f). 1 − 4α dan 1 − 4β
Kedua akar dikali −4 dan ditambah 1, maka PK baru :
$2(x-1)^2 + 3(-4)(x-1) + 1(-4)^2 = 0$
$2x^2-4x + 2 - 12x + 12 + 16 = 0$$2x^2-16x + 30 = 0$
$x^2-8x + 15 = 0$
(g).$ -\frac{2}{\alpha} dan-\frac{2}{\beta}$\)
Kedua akar dikali −2 dan dibalik, maka PK baru :
$1x^2 + 3(-2)x + 2(-2)^2 = 0$$x2-6x + 8 = 0$
Untuk melengkapi pengetahuan kita tentang materi Menyusun Persamaan Kuadrat admin sudah menyediakan contoh soal dan pembahasannya pada link berikut ini..
