Matematika : Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :

• ax² + bx + c > 0
• ax² + bx + c ≥ 0
• ax² + bx + c < 0
• ax² + bx + c ≤ 0

dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.
Himpunan Penyelesaian suatu pertidaksamaan kuadrat dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

• Langkah 1 : Tentukan pembuat nol dengan merubah tanda pertidaksamaan menjadi "sama dengan". Akar-akar persamaan kuadrat yang diperoleh adalah pembuat nol.
• Langkah 2 : Gambar pembuat nol pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda untuk masing-masing interval dengan mensubstitusi sembarang bilangan yang terletak pada tiap-tiap interval ke persamaan pada ruas kiri. Tulis (+) jika hasil substitusi bernilai positif dan tulis (−) jika hasil substitusi bernilai negatif.

Catatan :Tanda untuk tiap-tiap interval selalu berselang-seling $(+)$,$(−)$,$(+)$, atau $(−)$,$(+)$,$(−)$, kecuali jika akar-akar yang diperoleh sama (kembar)

Tips :
Jika akar-akar yang diperoleh berbeda, cukup dicari tanda pada satu interval saja, sisanya tinggal ditulis berselang-seling mengikuti pola diatas. Dahulukan interval yang memuat angka nol agar perhitungan lebih mudah {jika nol bukan merupakan pembuat nol}. 

• Langkah 3 : Tentukan daerah penyelesaian $(arsiran)$.

• Untuk pertidaksamaan ">" atau "≥", daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda positif (+).

• Untuk pertidaksamaan "<" atau "≤", daerah pernyelesaian berada pada interval yang bertanda negatif (−).

• Langkah 4 : Tulis himpunan penyelesaian, yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.

HP terletak pada ujung-ujung interval

Contoh Soal 1
Tentukan HP dari x² − 2x − 3 ≥ 0


Penyelesaian dan Pembahasan :
Pembuat nol.:
x² − 2x − 3 = 0
$(x + 1)$$(x − 3)$ = 0
x = −1 atau x = 3

Untuk interval −1 < x < 3, ambil x = 0
x² − 2x − 3 = $(0)² − 2(0) − 3 = −3 (−)$

Karena pertidaksamaan bertanda "≥" , maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x ≤ −1 atau x ≥ 3}

Contoh Soal 2
Tentukan HP dari −x² − 3x + 4 > 0

Penyelesaian dan Pembahasan :
Pembuat nol :
−x² − 3x + 4 = 0
x² + 3x − 4 = 0
$(x + 4)$$(x − 1)$ = 0
x = −4 atau x = 1

Untuk interval −4 < x < 1, ambil x = 0
−x² − 3x + 4 = −$(0)$² − 3$(0)$ + 4 = 4 $(+)$

Karena pertidaksamaan bertanda ">" , maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {−4 < x < 1}

Contoh Soal 3
$x(3x + 1) < (x + 1)² − 1$

Penyelesaian dan Pembahasan :
Terlebih dahulu ubah ke dalam bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
$x(3x + 1) < (x + 1)² − 1$
⇔ 3x² + x < x² + 2x + 1 − 1
⇔ 2x² − x < 0

Pembuat nol :
2x² − x = 0
$x(2x − 1) = 0$
x = 0 atau x = $\frac{1}{2}$

Untuk interval $x > \frac{1}{2}$ ambil x = 1
$2x² − x = 2(1)² − 1 = 1 (+)$

Karena pertidaksamaan bertanda "<" , maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {0 < x < $\frac{1}{2}$}


Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut :

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa :

• Untuk interval x < p atau x > q kurvanya berada diatas sumbu-x sehingga nilai fungsi pada interval tersebut bernilai positif $(> 0)$
• Untuk interval p < x < q kurvanya berada dibawah sumbu-x sehingga nilai fungsi pada interval tersebut bernilai negatif $(< 0)$

Berdasarkan uraian diatas, himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan kuadrat dapat pula ditentukan dengan konsep berikut :

Misalkan pembuat nol suatu pertidaksamaan kuadrat dengan a > 0 adalah p dan q. Untuk p < q, berlaku :

• Jika pertidaksamaan bertanda ">", maka $$\mathrm{HP=\left \{ x<p\;atau\;x>q \right \}}$$
• Jika pertidaksamaan bertanda "<", maka $$\mathrm{HP=\left \{ p<x<q \right \}}$$

Perlu diperhatikan bahwa konsep diatas berlaku untuk a > 0. Jika a bernilai negatif, maka terlebih dahulu kalikan kedua ruas dengan negatif (−).

Dengan menggunakan konsep diatas, contoh-contoh sebelumnya dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut.

1.  x² − 2x − 3 ≥ 0

Pembuat nol :
x² − 2x − 3 = 0
$(x + 1)(x − 3) = 0$
x = −1 atau x = 3

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka
HP = {x ≤ −1 atau x ≥ 3}

2.  −x² − 3x + 4 > 0
Kalikan kedua ruas dengan $(−)$ :
x² + 3x − 4 < 0

Pembuat nol :
x² + 3x − 4 = 0
$(x + 4)(x − 1) = 0$
x = −4 atau x = 1

Karena pertidaksamaan bertanda "<", maka
HP = {−4 < x < 1}

3.  2x² − x < 0

Pembuat nol :
2x² − x = 0
$x(2x − 1) = 0$

x = 0 atau x = $\frac{1}{2}$

Karena pertidaksamaan bertanda "<", maka
HP = {0 < x <$\frac{1}{2}$}