Luas Daerah di Atas Sumbu-xLuas daerah yang dibatasi kurva $y = f(x)$, sumbu-x, garis {x=a} dan {x=b}
dengan $f(x)\geq 0$ pada {[a,b]} adalah :$L=\int_{a}^{b}f(x)\:dx$
Luas Daerah di Bawah Sumbu-x
Luas daerah yang dibatasi kurva $y = f(x)$, sumbu-x, garis{x=a} dan {x=b} dengan $f(x)\leq 0$) pada {[a,b]} adalah : $L=-\int_{a}^{b}f(x)\:dx$
Luas Antara Dua Kurva
Luas daerah yang dibatasi kurva $y=f(x), y=g(x)$, garis {x=a} dan {x=b} dengan $f(x)\geq g(x)$ pada [a,b] adalah : $L=\int_{a}^{b}\left ( f(x)-g(x) \right )\:dx$
Contoh soal 1Luas daerah yang dibatasi kurva $y=-x^{2}+3x$, sumbu-x, x=0 dan {x=2} adalah... satuan luas
Pembahasannya:Sketsa grafik :
$L = \int_{0}^{2}(-x2 + 3x) dx$
$L = \left [-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2} \right ]_{0}^{2}$
$L = \frac{10}{3}$
$L = \int_{-1}^{1}(4 - x^{2}) - (x + 2) dx$
$L = \int_{-1}^{1}(-x^{2} - x + 2) dx$
$L = \left [-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+2x \right ]_{-1}^{1}$
$L = \frac{10}{3}$
Luas Tepat Dibatasi Kurva
Jika luas tepat dibatasi satu kurva dan sumbu-x, maka batas-batas integralnya adalah titik potong sumbu-x kurva tersebut.
$L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\;dx$
Jika luas tepat dibatasi 2 kurva, maka batas-batas integralnya diperoleh dari titik potong kedua kurva tersebut $\left ( f(x)=g(x) \right )$.
$L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left (f(x)-g(x) \right )\;dx$$
Titik potong kurva :
$x^2 -1 = -x - 1$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
x = 0 atau x = −1
$L = \int_{-1}^{0}(-x - 1) - (x^2 - 1)) dx$
$L = \int_{-1}^{0}(-x^2 - x) dx$
$L = \left [-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2} \right ]_{-1}^{0}$
$L = \frac{1}{6}$
Menentukan Batas-Batas Pengintegralan
Terkadang batas-batas yang diberikan belum tentu merupakan batas-batas yang digunakan dalam proses pengintegralan. Untuk kasus-kasus tertentu, kita perlu membagi atau memecah batas-batas tersebut baru kemudian mencari satu persatu luas pada masing-masing interval yang telah dipecah.
Misalkan luas berada pada interval [a, b]. Jika titik potong sumbu-x atau titik potong kurva berada pada interval [a, b], maka pecah batasnya menjadi [a, x] dan [x, b], dengan x adalah titik potong yang berada pada interval [a, b].
Perhatikan beberapa kasus berikut !
$L=-\int_{a}^{x_{2}}f(x)\;dx+\int_{x_{2}}^{b}f(x)\;dx$
$L=\int_{a}^{x_{1}}\left (f(x)-g(x) \right )\:dx+\int_{x_{1}}^{b}\left ( g(x)-f(x) \right )\:dx$
$L=\int_{a}^{x_{1}}f(x)\:dx+\int_{x_{1}}^{b}g(x)\:dx$
Titik potong sumbu-x :
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
x = 0 atau x = 4
Untuk interval [−1, 0] :
L1 = $\int_{-1}^{0}(x^2 − 4x)$dx
L1 =$\left [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2} \right ]_{-1}^{0}$
L1 = $\frac{7}{3}$
Untuk interval [0, 3]
LII =$-\int_{0}^{3}(x^2 − 4x)$dx
LII = $-\left [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2} \right ]_{0}^{3}$
LII = 9
Jadi, luas untuk interval [-1,3] adalah :
L = L1 + LII
L = $\frac{7}{3} + 9$
L =$\frac{34}{3}$
Pembahasannya:
Persamaan parabola yang memotong sumbu-x di titik $(0, 0)$ dan $(5, 0)$ dan melalui titik $(1,-4)$ adalah :
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$
$-4 = a(1- 0)(1 - 5)$
⇒ a = 1
$y = 1.(x - 0)(x - 5)$
⇒ $y = x^2 - 5x$
Persamaan garis yang melalui titik $(1,-4)$ dan $(3, 0)$ adalah :
$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$\frac{y-(-4)}{0-(-4)}=\frac{x-1}{3-1}$
⇒ y = 2x − 6
Titik potong kurva dan garis :
$x^2 - 5x = 2x - 6$
$x^2 - 7x + 6 = 0$
$(x - 1)(x - 6) = 0$
x = 1 atau x = 6
Luas I
Luas I di batasi parabola$y=x^{2}-5x$ dan garis $y=-4$.
Batas-batas integralnya adalah titik potong garis dan parabola tersebut.
$x2 - 5x = -4$
$x2 - 5x + 4 = 0$
$(x - 1)(x - 4) = 0$
x = 1 atau x = 4
L1 = $\int_{1}^{4}((-4) - (x^2 - 5x))$ dx
L1 = $\int_{1}^{4}(- x^2 + 5x - 4)$ dx
L1 = $\left [ -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-4x \right ]_{1}^{4}$
L1 = $\frac{9}{2}$
Luas II
Pecah batasnya menjadi [0, 1] dan [1, 3].
Untuk interval [0, 1] :
L = $-\int_{0}^{1} (x^2 - 5x)$ dx
L = $-\left [ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2} \right ]_{0}^{1}$
L = $\frac{13}{6}$
Untuk interval [1, 3] :
L = $-\int_{1}^{3}(2x - 6)$ dx
L = $-\left [ x^{2}-6x \right ]_{1}^{3}$
L = 4
Sehingga diperoleh :
LII = $\frac{13}{6} + 4$
LII = $\frac{37}{6}$
Luas III
Pecah batasnya menjadi [3, 5] dan [5, 6].
Untuk interval [3, 5] :
L = $\int_{3}^{5}(2x - 6)$ dx
L = $\left [ x^{2}-6x \right ]_{3}^{5}$
L = 4
Untuk interval [5, 6] :
L = $\int_{5}^{6}((2x -6) - (x^2 - 5x))$ dx
L = $\int_{5}^{6}(-x^2 + 7x - 6)$ dx
L = $\left [ -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{7}{2}x^{2}-6x \right ]_{5}^{6}$
L = $\frac{13}{6}$
Sehingga diperoleh :
LIII = 4 +$\frac{13}{6}$
LIII = $\frac{37}{6}$
atau luas III dapat ditentukan dari selisih daerah yang dibatasi garis {y=2x-6} dan sumbu-x pada interval [3, 6] dengan daerah yang dibatasi kurva $y=x^{2}-5x$ dan sumbu-x pada interval [5, 6].
Contoh soal 2Luas daerah yang dibatasi kurva $y=4-x^{2}$, garis $y=x+2$ pada interval $-1\leq x\leq 1$ adalah... satuan luas.
Pembahasannya:Sketsa grafik :
$L = \int_{-1}^{1}(4 - x^{2}) - (x + 2) dx$
$L = \int_{-1}^{1}(-x^{2} - x + 2) dx$
$L = \left [-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+2x \right ]_{-1}^{1}$
$L = \frac{10}{3}$
Luas Tepat Dibatasi Kurva
Jika luas tepat dibatasi satu kurva dan sumbu-x, maka batas-batas integralnya adalah titik potong sumbu-x kurva tersebut.
$L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\;dx$
Jika luas tepat dibatasi 2 kurva, maka batas-batas integralnya diperoleh dari titik potong kedua kurva tersebut $\left ( f(x)=g(x) \right )$.
$L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left (f(x)-g(x) \right )\;dx$$
Contoh soal 3Luas daerah yang dibatasi kurva $y=x^{2}-1$ dan garis $y=-x-1$ adalah...
Pembahasannya:Sketsa grafik :
Titik potong kurva :
$x^2 -1 = -x - 1$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
x = 0 atau x = −1
$L = \int_{-1}^{0}(-x - 1) - (x^2 - 1)) dx$
$L = \int_{-1}^{0}(-x^2 - x) dx$
$L = \left [-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2} \right ]_{-1}^{0}$
$L = \frac{1}{6}$
Menentukan Batas-Batas Pengintegralan
Terkadang batas-batas yang diberikan belum tentu merupakan batas-batas yang digunakan dalam proses pengintegralan. Untuk kasus-kasus tertentu, kita perlu membagi atau memecah batas-batas tersebut baru kemudian mencari satu persatu luas pada masing-masing interval yang telah dipecah.
Misalkan luas berada pada interval [a, b]. Jika titik potong sumbu-x atau titik potong kurva berada pada interval [a, b], maka pecah batasnya menjadi [a, x] dan [x, b], dengan x adalah titik potong yang berada pada interval [a, b].
Perhatikan beberapa kasus berikut !
$L=-\int_{a}^{x_{2}}f(x)\;dx+\int_{x_{2}}^{b}f(x)\;dx$
$L=\int_{a}^{x_{1}}\left (f(x)-g(x) \right )\:dx+\int_{x_{1}}^{b}\left ( g(x)-f(x) \right )\:dx$
$L=\int_{a}^{x_{1}}f(x)\:dx+\int_{x_{1}}^{b}g(x)\:dx$
Contoh soal 4Luas daerah yang dibatasi kurva $y=x^{2}-4x$ dan sumbu-x, pada interval$-1\leq x\leq 3$ adalah...
Pembahasannya:Sketsa grafik :
Titik potong sumbu-x :
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
x = 0 atau x = 4
Untuk interval [−1, 0] :
L1 = $\int_{-1}^{0}(x^2 − 4x)$dx
L1 =$\left [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2} \right ]_{-1}^{0}$
L1 = $\frac{7}{3}$
Untuk interval [0, 3]
LII =$-\int_{0}^{3}(x^2 − 4x)$dx
LII = $-\left [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2} \right ]_{0}^{3}$
LII = 9
Jadi, luas untuk interval [-1,3] adalah :
L = L1 + LII
L = $\frac{7}{3} + 9$
L =$\frac{34}{3}$
Contoh soal 5Tentukan luas untuk setiap daerah arsiran berikut !
Pembahasannya:
Persamaan parabola yang memotong sumbu-x di titik $(0, 0)$ dan $(5, 0)$ dan melalui titik $(1,-4)$ adalah :
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$
$-4 = a(1- 0)(1 - 5)$
⇒ a = 1
$y = 1.(x - 0)(x - 5)$
⇒ $y = x^2 - 5x$
Persamaan garis yang melalui titik $(1,-4)$ dan $(3, 0)$ adalah :
$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
$\frac{y-(-4)}{0-(-4)}=\frac{x-1}{3-1}$
⇒ y = 2x − 6
Titik potong kurva dan garis :
$x^2 - 5x = 2x - 6$
$x^2 - 7x + 6 = 0$
$(x - 1)(x - 6) = 0$
x = 1 atau x = 6
Luas I
Luas I di batasi parabola$y=x^{2}-5x$ dan garis $y=-4$.
Batas-batas integralnya adalah titik potong garis dan parabola tersebut.
$x2 - 5x = -4$
$x2 - 5x + 4 = 0$
$(x - 1)(x - 4) = 0$
x = 1 atau x = 4
L1 = $\int_{1}^{4}((-4) - (x^2 - 5x))$ dx
L1 = $\int_{1}^{4}(- x^2 + 5x - 4)$ dx
L1 = $\left [ -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-4x \right ]_{1}^{4}$
L1 = $\frac{9}{2}$
Luas II
Pecah batasnya menjadi [0, 1] dan [1, 3].
Untuk interval [0, 1] :
L = $-\int_{0}^{1} (x^2 - 5x)$ dx
L = $-\left [ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2} \right ]_{0}^{1}$
L = $\frac{13}{6}$
Untuk interval [1, 3] :
L = $-\int_{1}^{3}(2x - 6)$ dx
L = $-\left [ x^{2}-6x \right ]_{1}^{3}$
L = 4
Sehingga diperoleh :
LII = $\frac{13}{6} + 4$
LII = $\frac{37}{6}$
Luas III
Pecah batasnya menjadi [3, 5] dan [5, 6].
Untuk interval [3, 5] :
L = $\int_{3}^{5}(2x - 6)$ dx
L = $\left [ x^{2}-6x \right ]_{3}^{5}$
L = 4
Untuk interval [5, 6] :
L = $\int_{5}^{6}((2x -6) - (x^2 - 5x))$ dx
L = $\int_{5}^{6}(-x^2 + 7x - 6)$ dx
L = $\left [ -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{7}{2}x^{2}-6x \right ]_{5}^{6}$
L = $\frac{13}{6}$
Sehingga diperoleh :
LIII = 4 +$\frac{13}{6}$
LIII = $\frac{37}{6}$
atau luas III dapat ditentukan dari selisih daerah yang dibatasi garis {y=2x-6} dan sumbu-x pada interval [3, 6] dengan daerah yang dibatasi kurva $y=x^{2}-5x$ dan sumbu-x pada interval [5, 6].
