Persamaan fungsi kuadrat dapat disusun berdasarkan informasi-informasi yang diketahui dari grafik fungsi kuadrat tersebut.
Diketahui titik puncak atau titik balik
Persamaan fungsi kuadrat $y = f(x)$ dengan titik puncak $(xp, yp)$ dan melalui titik $(x, y)$, dapat disusun menjadi : $y=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}$
Kurva memotong sumbu-x di dua titik
Persamaan fungsi kuadrat $y = f(x)$ yang memotong sumbu-x di $(x_1, 0 )$ dan $(x_2, 0 )$ serta melalui titik (x, y), dapat disusun menjadi :$y=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )$
Kurva melalui tiga titik sembarang
Persamaan fungsi kuadrat $y = f(x)$ yang melalui tiga buah titik sembarang dapat ditentukan dengan mensubstitusi ketiga titik tersebut ke persamaan : $y=ax^{2}+bx+c$
ContohSoal 1
Susunlah fungsi kuadrat untuk setiap parabola berikut!
Pembahasannya
Grafik a
Diketahui titik puncak : $(x_p, y_p) = (2, 3)$
dan melalui titik $(x, y) = (0, -1)$
Substitusi $(x_p, y_p)$ dan $(x, y)$ ke persamaan :
$y = a(x- x_p)^2 + y_p$
$-1 = a(0 - 2)^2 + 3$
$-1 = 4a + 3$
$-4 = 4a$
$a = -1$
Substitusi $(x_p, y_p)$ dan a ke persamaan :
$y = a(x - x_p)^2 + yp$
$y = -1 (x- 2)^2 + 3$
$y = - (x^2- 4x + 4) + 3$
$y = -x^2 + 4x - 4 + 3$
$y = -x^2 + 4x - 1$ atau
$f(x) = -x^2 + 4x -1$
Grafik b
Kurva memotong sumbu-x di :
x1 = 1 dan x2 = 4
dan melalui titik $(x, y) = (0, 2)$
Substitusi $x_1, x_2$ dan $(x, y)$ ke persamaan :
$y = a(x -x1)(x - x^2)$
$2 = a(0 - 1)(0 - 4)$
$2 = 4a$
$a = \frac{1}{2}$
Substitusi $x_1, x_2$ dan a ke persamaan :
$y = a(x - x_1)(x -x_2)$
$y = \frac{1}{2}(x - 1)(x - 4)$
$y = \frac{1}{2}(x^2 -5x + 4)$
$y = frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x+2$ atau
$f(x) =\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x+2$
Contoh Soal 2
Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum 13 untuk x = 3. Jika grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik $(0, 4)$, maka fungsi kuadrat tersebut adalah...
Pembahasannya:
Diketahui titik puncak $(x_p, y_p) = (3, 13)$
dan melalui titik $(x, y) = (0, 4)$
$y = a(x - x_p)^2 + y_p$
$4 = a (0 -3)^2 + 13$
$4 = 9a + 13$
$-9 = 9a$
$a = -1$
$y = -1(x - 3)^2 + 13$
$y =-(x^2- 6x + 9) + 13$
$y = -x^2 + 6x-9 + 13$
$y = -x^2 + 6x + 4$ atau
$f(x) = -x^2 + 6x + 4$
Contoh Soal 3
Fungsi kuadrat yang melalui titik $(4, 2),(3, -2)$ dan $(-1, 2)$ adalah...
Pembahasannya:
Substitusi ketiga titik ke persamaan :
$y = ax^2 + bx + c$
Untuk titik $(4, 2)$
$2 = a(4)^2 + b(4) + c$
16a + 4b + c = 2 $................. (1)$
Untuk titik $(3, -2)$
$-2 = a(3)^2 + b(3) + c$
9a + 3b + c = -2 $................. (2)$
.Untuk titik $(-1, 2)$
$2 = a(-1)2 + b(-1) + c$
a - b + c = 2 $........................ (3)$
Eliminasi $(1)$ dan $(2)$
16a + 4b + c = 2
9a + 3b + c = −2 _
7a + b = 4 $................ (4)$
Eliminasi $(2)$ dan $(3)$
9a + 3b + c = −2
a − b + c = 2 _
8a + 4b = −4 | ÷2
2a + b = −1 $.......................... (5)$
Eliminasi $(4)$ dan $(5)$
7a + b = 4
2a + b = −1 _
5a = 5
a = 1
Dari persamaan $(5)$ dengan a = 1
2a + b = −1
2.1 + b = −1
b = −3
Dari persamaan (3)
a − b + c = 2
1 − (−3) + c = 2
4 + c = 2
c = −2
Susbtitusi a, b dan c ke persamaan $y=ax^{2}+bx+c$ sehingga diperoleh :
$y = x^2 - 3x - 2$ atau $f(x) = x^2- 3x - 2$
