Bentuk umum fungsi kuadrat
$f(x)=ax^{2}+bx+c$ dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.
Jika digambarkan pada bidang koordinat, maka grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung dari nilai a, b dan c fungsi kuadrat tersebut.
Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat$y = f(x)$
Diberikan grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$
Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya merupakan titik balik minimum.
Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan titik puncaknya merupakan titik balik maksimum.
Hubungan nilai diskriminan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-x :
D > 0 : Parabola memotong sumbu-x di dua titik.
D = 0 : Parabola menyinggung sumbu-x
D < 0 : Parabola tidak memotong sumbu-x
dengan : $D= b^2 - 4ac$
Posisi titik puncak grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-y :
ab > 0 : Titik puncak berada disebelah kiri sumbu-y
b = 0 : Titik puncak berada pada sumbu-y
ab < 0 : Titik puncak berada disebelah kanan sumbu-y
Titik potong sumbu-y grafik fungsi kuadrat :
c > 0 : Parabola memotong sumbu y positif
c = 0 : Parabola memotong sumbu y di titik$(0,0)$
c < 0 : Parabola memotong sumbu-y negatif
Contoh Soal 1
Jika grafik $f(x)=x^{2}+(m+3)x+2m+3$ memotong sumbu-x di dua titik, maka batas-batas nilai m yang memenuhi adalah...
Pembahasannya :
a = 1
b = m + 3
c = 2m + 3
Grafik memotong sumbu-x di dua titik, maka :
D > 0
$b^2 - 4ac > 0$
$(m + 3)^2 - 4 . 1 (2m + 3) > 0$
$m^2 + 6m + 9 - 8m -12 > 0$
$m^2- 2m - 3 > 0$
Pembuat nol :
$m^2- 2m - 3 = 0$
$(m + 1)(m - 3) = 0$
m = −1 atau m = 3
Dengan uji garis bilangan diperoleh :
m < −1 atau m > 3
Contoh Soal 2
Jika grafik fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$ menyinggung garisy=px+q, tunjukkan bahwa $(b - p)^2 - 4a(c - q) = 0$
Pembahasannya :
Jika parabola menyinggung garis, maka diskriminan persamaan kuadrat gabungannya akan bernilai nol.
$ax^{2}+bx+c = px + q$
$ax^{2}+bx px + c = 0$
$ax^2 + (b - p)x + c - q = 0$
a = a
b = b − p
c = c − q
D = 0
$b^2 - 4ac = 0$
$(b - p)^2 - 4a(c -q) = 0$
Contoh Soal 3
Grafik fungsi kuadrat $f(x)=2x^{2}+kx+3$ menyinggung garis $y=2x+1$. Untuk k > 0, maka nilai k yang memenuhi adalah...
Pembahasannya :
Cara I
$2x^2 + kx + 3 = 2x + 1$
$2x^2 + kx - 2x + 3 - 1 = 0$
$2x^2 + (k -2)x + 2 = 0$
a = 2
b = k − 2
c = 2
D = 0
$b^2 - 4ac = 0$
$(k -2)^2 -4 . 2 . 2 = 0$
$k^2 - 4k + 4 - 16 = 0$
$k^2 - 4k - 12 = 0$
$(k + 2)(k - 6 ) = 0$
k = −2 atau k = 6
Karena k > 0, maka k = 6.
Cara II
$f(x) = 2x^2 + kx + 3$
a = 2 ; b = k ; c = 3
y = 2x + 1
p = 2 ; q = 1
$(b - p)^2 - 4a(c - q) = 0$
$(k -2)^2 - 4 . 2 (3 - 1) = 0$
$k^2 - 4k + 4 - 16 = 0$
$k^2 - 4k - 12 = 0$
$(k + 2)(k -6 ) = 0$
k = −2 atau k = 6
Karena k > 0, maka k = 6.
Definit Positif dan Definit Negatif
Fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dikatakan definit positif jika $f(x)$ selalu bernilai positif untuk setiap x bilangan real.
Syarat definit positif : a > 0 dan D < 0
Ciri-ciri grafik fungsi definit positif :
- Grafik tidak memotong sumbu-x.
- Untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada di atas sumbu-x.
- Fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dikatakan definit negatif jika $f(x)$ selalu bernilai negatif untuk setiap x bilangan real.
Syarat definit negatif : a < 0 dan D < 0
Ciri-ciri grafik fungsi definit negatif :
- Grafik tidak memotong sumbu-x
- Untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada di bawah sumbu-x.
Contoh Soal 4
Jika fungsi kuadrat $f(x)=3x^{2}+px+12$ definit positif, maka batas-batas nilai p yang memenuhi adalah...
Pembahasannya :
a = 3
b = p
c = 12
Syarat definit positif : a > 0 dan D < 0
a > 0
3 > 0 $(memenuhi)$
D < 0
$b^2 - 4ac < 0$
$p^2 - 4 . 3 . 12 < 0$
$p^2 - 144 < 0$
Pembuat nol :
$p^2 - 144 = 0$
$(p + 12)(p - 12) = 0$
p = −12 atau p = 12
Dengan uji garis bilangan diperoleh :
−12 < p < 12
Contoh Soal 5
Fungsi $f(x)=(m-3)x^{2}+2mx+m+2$ akan menjadi fungsi definit negatif bila nilai m berada pada interval...
Pembahasannya :
a = m − 3
b = 2m
c = m + 2
Syarat definit negatif : a < 0 dan D < 0
a < 0
m − 3 < 0
m < 3 ..................................$(1)$
D < 0
$b^2 - 4ac < 0$
$(2m)^2 - 4 (m - 3)(m + 2) < 0$
$4m^2 - 4(m2- m -6) < 0$
$4m^2 - 4m^2 + 4m + 24 < 0$
4m < −24
m < −6 .................................$(2)$
Dari $(1)$ dan $(2)$ diperoleh irisan :
m < −6
