Jika f kontinu pada interval [a, b] dan F adalah antiturunan dari f pada interval tersebut, maka :
$\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\left [ F(x) \right ]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$
Contoh :
1. $\int_{1}^{3}(2x-1)\;dx$
$=\left [ x^{2}-x \right ]_{1}^{3}$
$=\left ( 3^{2}-3 \right )-\left ( 1^{2}-1 \right )$
$=6-0$
$=6$
2. $\int_{0}^{1}\left ( x^{2}-3x \right )\;dx$
$=\left [ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2} \right ]_{0}^{1}$
$=\left (\frac{1}{3}(1)^{3}-\frac{3}{2}(1)^{2} \right )-\left (\frac{1}{3}(0)^{3}-\frac{3}{2}(0)^{2} \right )$
$=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}$
$=\frac{7}{6}$
Sifat-Sifat Integral Tertentu
1. $\int_{a}^{b}k\:f(x)\;dx=k\int_{a}^{b}f(x)\:dx$
2. $\int_{a}^{b}\left [f(x)\pm g(x) \right ]\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\:dx\pm \int_{a}^{b}g(x)\:dx$
3. $\int_{a}^{a}f(x)\;dx=0$
4. $\int_{a}^{b}f(x)\;dx=-\int_{b}^{a}f(x)\;dx$
5. $\int_{a}^{c}f(x)\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx+\int_{b}^{c}f(x)\;dx$ dengan : a < b < c
Berikut contoh-contoh latihan soal integral tertentu :
Contoh Soal 1
Jika $f(x)=3x^{2}-4x$ dan $g(x)=2x+1$, tentukan nilai dari :
a. $\int_{1}^{3}f(x)\:dx$
Pembahasannya$\Rightarrow \int_{1}^{3}\left ( 3x^{2}-4x \right )\:dx$
$= \left [x^{3}-2x^{2} \right ]_{1}^{3}$
$= \left ((3)^{3}-2(3)^{2} \right )-\left ((1)^{3}-2(1)^{2} \right )$
$=9-(-1)$
$=10$
b. $\int_{-2}^{1}g(x)\:dx$
Pembahasannya :$\Rightarrow\int_{-2}^{1}(2x+1)\:dx$
$=\left [x^{2}+x \right ]_{-2}^{1}$
$=\left ( 1^{2}+1 \right )-\left ( (-2)^{2}+(-2) \right )$
$=2-2$
$=0$
c. $\int_{0}^{1}\left (f(x)-g(x) \right )\:dx$
Pembahasannya:
$\Rightarrow \int_{0}^{1}\left (\left ( 3x^{2}-4x \right )-(2x+1) \right )\:dx$
$\Rightarrow \int_{0}^{1}\left (3x^{2}-6x-1 \right )\:dx$
$=\left [x^{3}-3x^{2}-x \right ]_{0}^{1}$
$=\left (1^{3}-3(1)^{2}-1 \right )-\left ( 0^{3}-3(0)^{2}-0 \right )$
$=-3-0$
$=-3$
Contoh Soal 2
Tentukan nilai a dari pengintegralan berikut !
a.$\int_{a}^{a+1}\left ( 2x+1 \right )\;dx=4$
Pemabahasannya:
$\Rightarrow \left [ x^{2}+x \right ]_{a}^{a+1}=4$
$\Rightarrow \left [ \left ( a+1 \right )^{2}+\left ( a+1 \right ) \right ]-\left [ a^{2}+a \right ]=4$
$\Rightarrow a^{2}+2a+1+a+1-a^{2}-a=4$
$\Rightarrow 2a+2=4$
$\Rightarrow 2a=2$
$\Rightarrow a=1$
b. $\int_{1}^{a}\left ( 2x-2 \right )\;dx=2a+1\;\;;\,a>0$
Pembahasannya:
$\Rightarrow\left [ x^{2}-2x \right ]_{1}^{a}=2a+1$
$\Rightarrow \left ( a^{2}-2a \right )-\left ( 1^{2}-2.1 \right )=2a+1$
$\Rightarrow a^{2}-2a+1=2a+1$
$\Rightarrow a^{2}-4a=0$
$\Rightarrow a\left ( a-4 \right )=0$
\$\Rightarrow a=0\;atau\;a=4$
Karena a > 0, maka $(a=4)$
c. $\int_{a}^{1}\left ( 3x^{2}+2x \right )\;dx=-10\;\;;\,a\in R$
Pembahasannya;
$\Rightarrow \left [ x^{3}+x^{2} \right ]_{a}^{1}=-10$
$\Rightarrow \left (1^{3}+1^{2} \right )-\left ( a^{3}+a^{2} \right )=-10$
$\Rightarrow 2-a^{3}-a^{2}=-10$
$\Rightarrow a^{3}+a^{2}-12=0$
Nilai a yang mungkin adalah faktor dari 12, yaitu : ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
Nilai a yang memenuhi adalah a = 2, karena :
$\Rightarrow 2^{3}+2^{2}-12=0$
Contoh Soal 3
Nilai dari $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left (2\,cos\:2x-sin\,x \right )\;dx$ adalah...
Pembahasannya:
$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left (2\,cos\:2x-sin\,x \right )\;dx$
$=\left [ 2\,\frac{1}{2}sin\,2x-(-cos\,x) \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}$
$=\left [ sin\,2x+cos\,x \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}$
$=\left ( sin\,2\left ( \frac{\pi }{2} \right )+cos\,\left ( \frac{\pi }{2} \right ) \right )-\left ( sin\,2(0)+cos\,0 \right )=\left ( sin\,\pi+cos\left ( \frac{\pi }{2} \right ) \right )-\left ( sin\,0+cos\,0 \right )$
$=\left ( 0+0 \right )-\left ( 0+1 \right )$
$=-1$
