Matematika : Perkalian Titik $[Dot Product]$

Perkalian Titik$[Dot Product]$

Perkalian titik [dot product] dari dua vektor a dan b dinotasikan dengan a ‧ b.
Perkalian titik disini tidak sama dengan perkalian aljabar seperti yang sudah kita kenal, karena yang dilibatkan disini adalah vektor, bukan bilangan.

Diberikan dua buah vektor,
$a = [a_1 , a_2 , a_3]$
$b = [b_1 , b_2 , b_3]$

dengan θ adalah sudut antara a dan b, seperti yang terlihat pada gambar.

Dengan bantuan aturan cosinus, kita peroleh
$|b - a|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a| |b| \;cos \;\theta $
$|a| |b|\; cos \;\theta  = \frac{1}{2}( |a|^2 + |b|^2 - |b - a|^2 )\; (*)$

Substitusikan

$|a|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 ,$

$|b|2 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 ,$

$|b - a|2 = (b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2,$

pada ruas kanan persamaan $(*)$, lalu sederhanakan hingga diperoleh

$|a| |b| cos \;\theta  = a_1. b_1 + a_2. b_2 + a_3. b_3 \;\;\;\;(**)$

Persamaan terakhir ini cukup menarik, karena mampu menjelaskan hubungan antara panjang, sudut, dan komponen-komponen suatu vektor secara bersamaan.

Persamaan yang didominasi oleh operasi perkalian inilah yang kemudian menjadi ide dalam pendefinisian perkalian titik dua vektor.

Definisi Misalkan a dan b adalah vektor-vektor bukan nol. Perkalian titik atau dot product dari a dan b, ditulis a ‧ b, didefinisikan
$a ‧ b = |a| |b| \;cos \;\theta $

dimana
|a| = panjang a
|b| = panjang b
θ = sudut antara a dan b

Dengan demikian, persamaan $(**)$ dapat ditulis menjadi
$a ‧ b = a_1. b_1 + a_2. b_2 + a_3. b_3$

Perkalian titik dari dua vektor akan menghasilkan skalar. Oleh sebab itu, perkalian titik sering disebut dengan perkalian skalar [skalar product].

Contoh 1

Dua buah vektor u dan v membentuk sudut sebesar 60°. Jika |u| = 4 dan |v| = 7, maka u ‧ v = ...

Pembahasannya:
u ‧ v = |u| |v| cos 60°
u ‧ v = 4 ‧ 7 ‧ $\frac{1}{2}$
u ‧ v = 14

Contoh 2

Diketahui p dan q adalah vektor-vektor di R3, dengan p = 2i - 3j + 4k dan q = 3i - k. Tentukan nilai p ‧ q

Pembahasannya:
p = [2 , -3 , 4]
q = [3 , 0 , -1]

$p ‧ q = 2 ‧ 3 + (-3) 0 + 4 (-1)$
$p ‧ q = 6 + 0 - 4$
$p ‧ q = 2$

Contoh 3

Diketahui p = $[6 , 0]$ dan q = $[4 , -4]$. Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh p dan q !

Pembahasannya::
Panjang masing-masing vektor :

$|p| = \sqrt{(62 + 02)} = 6$

$|q| = \sqrt{(42 + (-4)2)} = 4\sqrt{2}$

Hasil kali titik dari kedua vektor :
$p ‧ q = 6 ‧ 4 + 0 (-4) = 24$


Misalkan sudut diantara p dan q adalah θ.

$\mathrm{cos\,\theta} =\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{\mathbf{|p||q|}}=\frac{24}{6\cdot 4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Karena cos θ =$\frac{1}{2}\sqrt{2}$$, maka θ = 45°