Matematika : Sifat-Sifat Perkalian Titik

Sifat-Sifat Perkalian Titik

Jika a, b dan c adalah vektor, dan k adalah skalar/bilangan, maka
$a.a = |a|^2$
$a.b = b.a$
$a.(b + c) = a.b + a.c$
$a.(kb) = k(a.b) = (ka).b$

Kita tahu bahwa

• Dua vektor yang saling tegak lurus membentuk sudut sebesar 90°
• Dua vektor yang searah membentuk sudut sebesar 0°
• Dua vektor yang berlawanan arah membentuk sudut sebesar 180°
• Ketika θ lancip, maka cos θ > 0
• Ketika θ tumpul, maka cos θ < 0

Apabila fakta-fakta diatas kita terapkan pada definisi perkalian titik, akan kita peroleh kesimpulan sebagai berikut.
Misalkan a dan b adalah vektor, dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
Jika a tegak lurus b, maka
$a ‧ b = 0$

Jika a searah dengan b, maka
$a.b = |a| |b|$

Jika a berlawanan arah dengan b, maka
$a.b = -|a| |b|$

Jika θ lancip $(0 < \theta  < 90^0)$, maka
a ‧ b > 0

Jika θ tumpul $(90^0 < \theta  < 180^0)$, maka
a ‧ b < 0

Contoh 1

Diketahui u = [3 , 1 , -2] dan v = [4 , 0 , k]. Tentukan k agar kedua vektor tersebut saling tegak lurus.

Pembahasannya:
Agar u tegak lurus v, haruslah u ‧ v = 0

$u\cdot v =0 $
$3\cdot 4+1\cdot 0+(-2)k=0 $
$12-2k=0$
$12 =2k$
$k=6$

Contoh 2

Jika $u = [u_1 , u_2]$, tunjukkan bahwa $u.u = |u|^2$

Pembahasannya:
Berdasarkan definisi perkalian titik, maka
$u.u = u_1 u_1 + u_2 u_2$

$u.u = u_1^2 + u_2^2 ............................(1)$

Berdasarkan rumus panjang vektor, maka
$|u|^2 = u_1^2 + u_2^2 .................................(2)$

Dari $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh hubungan
$u.u = |u|^2$