 |
| Matematika : Sisipan Barisan AQritmatika |
Misalkan diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k bilangan sedemikian sehingga terbentuk barisan aritmatika dengan beda b. Suku-suku yang terbentuk adalah sebagai berikut :
$x, (x + b), (x + 2b), (x + 3b), ... , (x + kb), y$
Perhatikan bahwa setiap suku barisan aritmatika (kecuali suku pertama) merupakan hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Berdasarkan hal ini, dua suku terakhir dapat kita nyatakan dalam hubungan :
$(x + kb) + b = y$
$x + (k + 1)b = y$
$(k + 1)b = y - x$
$b =\frac{ (y - x)}{ (k + 1)}$
Kesimpulan :
Jika diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k bilangan, sedemikian sehingga bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika, maka beda barisan aritmatika yang terbentuk dirumuskan
$b=\frac{y-x}{k+1}$
dengan banyaknya suku setelah disisipkan adalah
$n=k+2$
Contoh Soal dan Pembahasan Matematika : Sisipan Barisan Aritmatika
Contoh soal 1
Diantara bilangan 4 dan 229 disisipkan 74 bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan beda dan banyaknya suku barisan aritmatika yang terbentuk, kemudian tuliskan suku-suku yang mewakili barisan tersebut!
Pembahasannya:
Diketahui x = 4, y = 229, dan k = 74
Beda barisan aritmatika yang terbentuk adalah
$b=\frac{y-x}{k+1}$
$b=\frac{229-4}{74+1}$
$b=3$
Banyaknya suku setelah disisipkan adalah
n = k + 2
n = 74 + 2
n = 76
Suku-suku barisan tersebut yaitu :
4 , 7 , 10 , 13 , ... , 229
Contoh soal 2
Tentukan banyaknya bilangan yang harus disisipkan diantara bilangan 5 dan 325 agar terbentuk barisan aritmatika dengan beda 8 !
Pembahasannya:
Diketahui x = 5, y = 325, dan b = 8
$b = \frac{y-x}{k+1}\;\;$
$ \Leftrightarrow \;\;k+1 = \frac{y-x}{b}$
$\Leftrightarrow \;\;k+1 = \frac{325-5}{8} $
$\Leftrightarrow \;\;k+1 = 40 $
$ \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\;\;\,\,k=39$
Jadi, banyak bilangan yang harus disisipkan adalah 39 bilangan.
Misalkan disetiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmatika disisipkan sebanyak k bilangan sedemikian sehingga terbentuk barisan aritmatika baru dengan beda b' dan banyaknya suku n'.
Berdasarkan rumus sebelumnya, beda barisan aritmatika baru adalah
$b'=\frac{U_{n}-U_{n-1}}{k+1}$
$b =\frac{b}{k+1}$
Banyaknya suku sebelum disisipkan adalah n dan total suku sisipan adalah $(n - 1)k$. Jadi, banyaknya suku barisan aritmatika baru adalah
$n' = n + (n - 1)k$
Contoh Soal 3
Diketahui barisan aritmatika 2, 10, 18, 26. Disetiap 2 suku berurutan barisan tersebut disisipkan 3 buah bilangan, sehingga terbentuk barisan aritmatika baru. Tentukan beda dan banyaknya suku barisan aritmatika baru tersebut, kemudian tuliskan suku-sukunya!
Pembahasannya:
Diketahui : k = 3
Beda barisan aritmatika awal : b = 10 - 2 = 8
Banyak suku barisan aritmatika awal : n = 4
Beda barisan aritmatika baru adalah
$b' = \frac{b}{k+1}$
$=\frac{8}{3+1}=2$
Banyak suku barisan aritmatika baru adalah
$n' = n + (n - 1)k$
$n' = 4 + (4 - 1)3$
$n' = 13$
Suku-suku barisan aritmatika baru :
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26
Untuk melengkapi pemahaman tentang materi matematika "Sisipan Barisan Aritmatika" admin Kelas MIPA sudah menyediakan Contoh soal dan Pembahasannya pada link berkut ini.
