Pembahasan Soal Matematika : Perkalian Titik {Dot Product}

Pembahasan Soal Matematika : Perkalian Titik {Dot Product}

Contoh Soal Latihan 1

Diketahui tiga buah titik $A(2, -4, -2),\; B(3, -4, -1)\; dan \;C(4, -3, -1)$. Jika p dan q berturut-turut adalah wakil dari vektor AB dan BC, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh p dan q.

Pembahasannya:
AB = $[3, -4, -1] - [2, -4, -2]$
AB = $[1, 0, 1]$

BC = $[4, -3, -1] - [3, -4, -1]$

BC = $[1, 1, 0]$

Diperoleh
p = AB = $[1, 0, 1]$

q = BC = $[1, 1, 0]$

Misalkan sudut antara p dan q adalah α.
$Cos\; \alpha =\frac{p\cdot q}{\left |p  \right |,\left |q  \right |}$
$Cos\; \alpha =\frac{1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}\cdot \sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}}$
$Cos\; \alpha =\frac{1}{2}$

Karena$Cos\; \alpha =\frac{1}{2}$, maka α = 60°

Contoh Soal  Latihan 2

Diketahui $|a| = 3,\; |b| = 5\; dan\; |a + b| = 2\sqrt{13} $. Tentukan $|a - b|$

Pembahasannya:
$|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2 a.b$
$(2\sqrt{13})^2 = (3)^2 + (5)^2 + 2 a.b$
$5^2 = 9 + 25 + 2 a.b$
$2 a.b = 18$

$\left |a - b  \right |^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 a.b$
$|a - b|^2 = (3)2 + (5)2 - 18$
$|a - b|^2 = 16$
$|a - b| = 4$

Contoh Soal Latihan 3

Diketahui tiga vektor u, v dan w, dengan $|u| = 4 , |w| = \sqrt{13 }\;dan \;u.v = 6$. Jika v = u + w dan sudut antara v dan w adalah β, maka sin2β = ...

Pembahasannya:
Karena v = u + w, maka w = v - u . Akibatnya
$|w|^2 = |v|^2 + |u|^2 - 2 v.u$
$(\sqrt{13})^2 = |v|^2 + (4)^2 - 2 (6)$
$13 = |v|^2 + 4$
$|v|^2 = 9$
$|v| = 3$

Karena v = u + w, maka u = v - w . Akibatnya
$|u|^2 = |v|^2 + |w|^2 - 2 v.w$
$(4)^2 = (3)^2 + (\sqrt{13})^2 - 2 v.w$
$2 v.w = 6$
$v.w = 3$

Sudut antara v dan w adalah β, sehingga
$cos\;\beta =\frac{v\cdot w}{\left | v \right |\,\left | w \right |}=\frac{3}{3\cdot \sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{13}}$

Berdasarkan identitas phythagoras :
$sin^{2}\beta =1-cos^{2}\; \beta$
 $= 1-\left ( \frac{1}{\sqrt{13}} \right )^{2} $
$ = 1-\frac{1}{13} $
$ = \frac{12}{13}$

Contoh Soal  Latihan 4

Dari suatu segitiga sama sisi ABC diketahui $A(2, -1) \;dan\; B(4, 1)$. Tentukan koordinat titik C yang mungkin

Pembahasannya:
Misalkan koordinat titik C adalah $(x, y)$
AB = $[4, 1] - [2, -1] = [2, 2]$

AC = $[x, y] - [2, -1] = [x - 2 , y + 1]$

Panjang AB dan AC berturut-turut :
$|AB| = \sqrt{(2^2 + 2^2)} = \sqrt{8}$
$|AC| = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 1)^2} = \sqrt{x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5}$

Karena ABC sama sisi, maka $|AC| = |AB|.$

$\sqrt{x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5} =\sqrt{ 8}$
$x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 = 8$
$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 3 = 0 ...................................(1)$

Karena AB = $[2, 2]$ dan AC = $[x - 2, y + 1]$ maka

$AB.AC = 2(x - 2) + 2(y + 1)$
$AB.AC = 2x - 4 + 2y + 2$
$AB.AC = 2x + 2y - 2 ......................................(2)$

Karena ABC sama sisi, maka sudut antara AB dan AC adalah 60°. Akibatnya,
$AB.AC = |AB| |AC| cos\; 60^0$
$AB.AC = \sqrt{8}. \sqrt{8}. \frac{1}{2}$
$AB.AC = 4 ........................................................(3)$

Dari persamaan $(2)$ dan $(3) $ diperoleh hubungan
$2x + 2y - 2 = 4$
$2x + 2y = 6$
$x + y = 3$
$y = 3 - x .............................................................(4)$

Subsitusi persamaan $(4)$ ke persamaan $(1)$
$x^2 + (3 - x)^2 - 4x + 2(3 - x) - 3 = 0$
$x^2 + 9 - 6x + x2 - 4x + 6 - 2x - 3 = 0$
$2x^2 - 12x + 12 = 0$
$x^2 - 6x + 6 = 0$

Dengan menggunakan rumus kuadrat diperoleh
$x = 3 + \sqrt{3}\; atau\; x = 3 - \sqrt{3}$

Substitusikan nilai -nilai x ke persamaan $(4)$ :
Untuk x = 3 + √3 → y = -√3
Untuk x = 3 - √3 → y = √3

Jadi, koordinat titik C yang mungkin adalah
$C(3 + \sqrt{3} , -\sqrt{3})\; atau\; C(3 - \sqrt{3} , \sqrt{3})$