Matematika : Panjang dari Jumlah atau Selisih Dua Vektor

Panjang dari Jumlah atau Selisih Dua Vektor
Diberikan dua vektor a dan b, dengan θ adalah sudut antara vektor a dan b. Jika c = a + b, maka
$c.c = (a + b).(a + b)$
$c. c = a. a + b. b + 2 a .b$

Karena $c.c =\left |c  \right |^2 , a .a = \left |a  \right |^2$ , dan $b .b = \left |b  \right |^2$ , persamaan diatas menjadi
$|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2 a . b$

Jika kita substitusikan kembali c = a + b, maka akan kita peroleh
$|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2 a .b$

Karena $a.b = |a| |b| \;cos \;\theta $, persamaan diatas dapat pula ditulis menjadi
$|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2 |a| |b|\; cos\;\theta $

Dengan cara yang sama, untuk c = a - b, akan diperoleh
$\left |a-b  \right |^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 a . b$
atau
$|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 |a| |b|\;cos\; \theta $

Uraian-uraian diatas, dapat pula kita tuliskan sebagai berikut.
1. Jika c = a + b, maka berlaku
$|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2 a.b$

2. Jika c = a - b, maka berlaku
$|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 a.b$

dimana |a|, |b| dan |c| berturut-turut adalah panjang dari vektor a, b dan c.

Contoh 1

Diketahui |a| = 5, |b| = 3 dan |a - b| = 2√6. Apabila a dan b membentuk sudut lancip sebesar α, tentukan nilai sin α

Pembahasannya :
$|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 |a| |b| \;cos\;\alpha $
$(2\sqrt{6})^2 = (5)^2 + (3)^2 - 2 (5) (3) \;cos\;\alpha $
$24 = 34 - 30\;cos\;\alpha $
$30\;cos\;\alpha  = 10$
$\;cos\;\alpha  = \frac{1}{3} \rightarrow \;cos\;\alpha  = \frac{2}{3}\sqrt{2}$

Contoh 2

Diketahui |a| = 2√2, |b| = 10 dan a ‧ b = 4. Apabila a = b - c, maka a ‧ c = ...

Pembahasannya :
Karena a = b - c, maka c = b - a. Akibatnya
$|c|^2 = |b|^2 + |a|^2 - 2 b.a$
$|c|^2 = (10)^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 (4)$
$|c|^2 = 100$
$|c| = 10$


Karena a = b - c, maka b = a + c. Akibatnya
$|b|^2 = |a|^2 + |c|^2 - 2 a.c$
$(10)^2 = (2\sqrt{2})^2 + (10)^2 + 2 a.c$
$2 a.c = -8$
$a.c = -4$