Matematika : Integral Fungsi Aljabar

Secara umum integral dapat dibedakan menjadi dua, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.
Integral tak tentu fungsi f(x) dinyatakan oleh :

∫ f$\left ( x \right )$ dx = F$\left ( X \right )$ + C

dengan :
f$\left ( x \right )$ = integran/fungsi yang diintegralkan
F$\left ( X \right )$ = anti turunan dari f(x)
C = konstanta

Rumus-Rumus Dasar Integral
Untuk f$\left ( x \right )$ = a dengan a konstan, maka :

a dx = ax + C

 Contoh dan Pembahasannya
1. ∫ 2 dx = 2x + C
2. ∫ $\frac{1}{2}$ dx = $\frac{1}{2}$x + C
Untuk f$\left ( x \right ) =x^{n}$ , n ≠ −1 maka :

$\int \left ( ax+b \right )^{n}dx=\frac{1}{a\left ( n+1 \right )}n^{n+1}+C$

Contoh

1. ∫ $2x^{4}$ dx = ...
Jawab :
⇒ ∫ $2x^{4}$
⇒ $\frac{2}{4+1}x^{4+1}+C$
⇒ $\frac{2}{5}x^{5}+C$

2. ∫ $x^{-6}$ dx = ...
Jawab :
⇒ ∫ $x^{-6}$
⇒ $\frac{1}{-6+1}x^{-6+1}+C$
⇒ $-\frac{1}{5}x^{5}+C$

Untuk $f\left ( x \right ) = \left ( ax+b \right )^{n}$ , n ≠ −1 maka :

$\mathrm{\mathbf{\int (ax+b)^{n}\:dx=\frac{1}{a(n+1)}x^{n+1}+C}}$

Contoh Soal dan Pembahasannya

1. ∫ $\left ( 2x -1 \right )^{4}$ dx = ...
Jawab :
⇒ ∫ $\left ( 2x -1 \right )^{4}$
⇒$\frac{1}{2\left ( 4+1 \right )}\left ( 2x -1 \right )^{4+1}+C$
⇒ $\frac{1}{10}\left ( 2x -1 \right )^{5}+C$


2. ∫ $\left ( x+1 \right )^{7}$ dx = ...
Jawab :
⇒  ∫ $\left ( x+1 \right )^{7}$
⇒$\frac{1}{1\left ( -7+1 \right )}\left ( x+1 \right )^{-7+1}+C$
⇒ $\frac{1}{-6}\left ( x+1 \right )^{-6}+C$


Untuk $f\left ( x \right )=\frac{1}{x}$, maka :

$\int \frac{1}{x}dx=ln\left | x \right |+C$

Untuk menentukan integral yang integrannya memuat bentuk akar atau pecahan, langkah awal yang harus dilakukan adalah mengubah terlebih dahulu integran tersebut ke bentuk eksponen (pangkat).

Berikut beberapa sifat akar dan pangkat yang sering digunakan :

• $x^{m}.x^{n}=x^{m+n}$
• $\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}$
• $\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$
• $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
• $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$
• $\sqrt[n]{x^{m}}=x^{\frac{m}{n}}$

Contoh soal dan pembahasan

1.$\int \sqrt{x}dx=...$
Jawab :

⇒$\int \sqrt{x}dx$

⇒$\int x^{\frac{1}{2}}dx$

⇒$\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}+C$

⇒$\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$

⇒$\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

2. $\int \frac{1}{x^{2}}dx=$
Jawab :
⇒$\int x^{-2}dx$
⇒$\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+C$
⇒$-x^{-1}+C$
⇒$-\frac{1}{x}+C$

3.$\int x\sqrt[3]{x^{2}}dx=$
Jawab :
⇒$\int x.x^{\frac{2}{3}}dx$
⇒$\int x^{\frac{5}{3}}dx$
⇒$\frac{1}{\frac{5}{3}+1}x^{\frac{5}{3}+1}+C$
⇒$\frac{3}{8}x^{\frac{8}{3}}+C$
⇒$\frac{3}{8}\sqrt[3]{x^{8}}+C$ atau
⇒$\frac{3}{8}x^{2}\sqrt[3]{x^{2}}+C$

Sifat-Sifat Integral

1. ∫ k f$\left ( x \right )$ dx = k ∫ f$\left ( x \right )$ dx $\left ( k=Konstan \right )$

Contoh
⇒∫ 3x4 dx = 3 ∫ x4 dx
⇒∫ 3x4 dx = 3 . $\frac{1}{5}x^{5}+C$
⇒∫ 3x4 dx = $\frac{3}{5}x^{5}+C$

2. ∫{f$\left ( x \right )$ ± g$\left ( x \right )$} dx = ∫ f$\left ( x \right )$ dx ± ∫ g$\left ( x \right )$ dx

Contoh
⇒∫ (4x2 + 3x − 2) dx = ...
⇒ ∫ 4x2 dx + ∫ 3x dx − ∫ 2 dx
⇒$\frac{4}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-2x+C$

Untuk melengkapi pemahaman kita tentang materi Integral Fungsi Aljabar, admin juda sudah menyediakan contoh soal beserta penjelasannya pada link berikut ini