Pembahasan soal-soal Ujian Nasional $(UN)$ SMA bidang studi Matematika IPA untuk materi pembahasan Integral Fungsi Aljabar yang meliputi integral tentu, integral tak tentu dan integral substitusi dari fungsi-fungsi aljabar.
Rumus-rumus integral yang digunakan :
1. ∫ $ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^n+1 + C$
2. ∫$\int \left ( ax+b \right )^{n}dx=\frac{1}{a\left ( n+1 \right )}n^{n+1}+C$
3. ∫ $f(x).g(x)^n dx = \frac{k}{n+1} g(x)^{n+1} + C$
3. ∫ $f(x).g(x)^n dx = \frac{k}{n+1} g(x)^{n+1} + C$
dengan $k = \frac{f(x)}{g'(x)}$ dan k konstan.
1. UN 2005
Hasil dari$\int_{0}^{1}3x\sqrt{3x^{2}+1}\:dx=...$
A. $\frac{7}{2}$ B. $\frac{8}{3}$ C. $\frac{7}{3}$ D.$\frac{4}{3}$ E. $\frac{2}{3}$
Pembahasan :
∫ $3x(3x^2 + 1)^{\frac{1}{2}}$ dx
n =$\frac{1}{2}$
k =$\frac{3x}{6x} =\frac{1}{2}$
⇒$ \frac{k}{n+1} g(x)^{n+1} + C$
⇒ $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}\left (3x^2 + 1 \right )^{\frac{1}{2}}+C$
⇒ $\frac{1}{3}(3x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C$
Untuk batas x = 0 sampai x = 1
⇒\$\frac{1}{3}(3.1^2 + 1)^\frac{3}{2}- \frac{1}{3}(3.0^2 + 1)^\frac{3}{2}$
⇒ $\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$
Jawaban : C
2. UN 2007
Diketahui $\int_{a}^{3} (3x^2 + 2x + 1)$ dx = 25. Nilai $\frac{1}{2}a=...$
A. −4 B. −2 C. −1 D. 1 E. 2
Pembahasan :
$\int_{a}^{3} (3x^2 + 2x + 1)$ dx = 25
⇔ $[x^3 + x^2 + x]_{a}^{3}$ = 25
⇔ $(3^3 + 3^2 + 3) - (a^3 + a^2 + a)$ = 25
⇔ $a^3 + a^2 + a - 14 = 0$
Nilai a yang mungkin adalah faktor dari −14, yaitu :
±1, ±2, ±7, ±14.
Nilai a yang memenuhi adalah a = 2 karena
$2^3 + 2^2 + 2 - 14 = 0$
Jadi, $\frac{1}{2}a = \frac{1}{2}. 2 = 1$
Jawaban : D
3. UN 2008
Hasil dari $\int_{1}^{4}\frac{2}{x\sqrt{x}}:dx=...$
A. −12 B. −4 C. −3 D. 2 E.$\frac{3}{2}$
Pembahasan :
⇒ $\int_{1}^{4} 2x^{-\frac{3}{2}}$ dx
$=\left [\frac{2}{-\frac{3}{2}+1}x^{-\frac{3}{2}+1} \right ]_1^4$
$=\left [ -4x^{-\frac{1}{2}} \right ]_1^4$
$=\left [ \frac{-4}{\sqrt{x}} \right ]$
$=\frac{-4}{\sqrt{4}}-\frac{-4}{\sqrt{1}}$
$=-2-\left ( -4 \right )$
$=2$
$=\left [ -4x^{-\frac{1}{2}} \right ]_1^4$
$=\left [ \frac{-4}{\sqrt{x}} \right ]$
$=\frac{-4}{\sqrt{4}}-\frac{-4}{\sqrt{1}}$
$=-2-\left ( -4 \right )$
$=2$
Jawaban : D
4. UN 2009
Hasil dari ∫ $(2x − 1)(x^2- x + 3)^3$ dx = ...
A.$\frac{1}{3}(x^2 - x + 3)^3 + C$
B. $\frac{1}{4}(x^2- x + 3)^3 + C$
C.$\frac{1}{4}x^2 - x + 3)^4 + C$
D.$\frac{1}{2}(x^2 - x + 3)^4 + C$
E. $(x^2 -x + 3)^4 + C$
Pembahasan :
∫ $(2x-1)(x^2- x + 3)^3$ dx
n = 3
k =$\frac{2x-1}{2x-1}$ = 1
⇒ $\frac{k}{n+1} g(x)^{n+1} + C$
⇒ $\frac{1}{3+1}(x^2-x + 3)^{3+1} + C$
⇒ $\frac{1}{4}(x^2 -x + 3)^4 + C$
Jawaban : C
5. UN 2009
Diketahui $\int_{1}^{a} (2x - 3)$ dx = 12 dan a > 0. Nilai a = ...
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 E. 10
Pembahasan :
$\int_{1}^{a} (2x - 3)$ dx = 12
⇔ $\left [ x^2 - 3x \right ]_1^a=12$
⇔ $(a^2- 3^a) -(1^2 -3.1) = 12$
⇔ $a^2- 3^a- 10 = 0$
Nilai a yang mungkin adalah faktor dari −10, yaitu :
±1, ±2, ±5, ±10.
Nilai a yang memenuhi adalah a = 5 karena
$5^2 - 3.5 - 10 = 0$
Jawaban : C
6. UN 2009
Hasil dari ∫ $(6x^2- 4x)\sqrt{x^{3}-x^{2}-1}$ dx = ...
A.$\frac{2}{3}\sqrt[3]{\left (x^{3}-x^{2}-1 \right )^{2}}+C$
B.$\frac{2}{3}\sqrt{\left (x^{3}-x^{2}-1 \right )^{3}}+C$
C. $\frac{4}{3}\sqrt{\left (x^{3}-x^{2}-1 \right )^{3}}+C$
D.$\frac{4}{3}\sqrt[3]{\left (x^{3}-x^{2}-1 \right )^{2}}+C$
E.$\frac{2}{3}\sqrt{\left (x^{3}-x^{2}-1 \right )^{2}}+C$
Pembahasan :
∫ $(6x^2-4x)(x^3 - x^2 - 1)^\frac{1}{2}$dx
n = $\frac{1}{2}$
k = \$\frac{6x^{2}-4x}{3x^{2}-2x} = \frac{2(3x^{2}-2x)}{3x^{2}-2x}= 2$
⇒ $\frac{k}{n+1} g(x)^{n+1} + C$
⇒ $\frac{2}{\frac{1}{2}+1}(x^3 - x^2 -1)^{\frac{1}{2}+1} + C$
⇒ $\frac{4}{3}(x^3 - x^2 - 1)^{\frac{3}{2}} + C$
⇒ $\frac{4}{3}(x^3 - x^2 - 1)^{\frac{3}{2}} + C$
⇒ $\frac{4}{3}\sqrt{\left (x^{3}-x^{2}-1 \right )^{3}}+C$
Jawaban : C
7. UN 2009
Diketahui $\int_{1}^{p} (x - 1)^2 dx = 2\left (\frac{8}{3} \right )$. Nilai p yang memenuhi adalah...
A. 1 B. $1\frac{1}{3}$ C. 3 D. 6 E. 9
Pembahasan :
$\int_{1}^{p} (x - 1)^2 dx = 2\left (\frac{8}{3} \right )$
⇔ $\left [ \frac{1}{1(2+1)}(x-1)^{2+1} \right ]_{1}^{p} =\frac{8}{3}$
⇔ $\left [ \frac{1}{3}(x-1)^{3} \right ]_{1}^{p}$ = $\frac{8}{3}$
⇔ $\frac{1}{3}(p-1)^3 -\frac{1}{3}(1 -1)^3 = \frac{8}{3}$
⇔ $\frac{1}{3}(p- 1)^3 = \frac{8}{3}$
⇔ $(p- 1)^3 = 8$
⇔ $(p- 1)^3 = 2^3$
⇔ p − 1 = 2
⇔ p = 3
Jawaban : C
8. UN 2010
Nilai dari $\int_{-1}^{3}2x(3x + 4) $ dx = ...
A. 88 B. 84 C. 56 D. 48 E. 46
Pembahasan :
$\int_{-1}^{3}2x(3x + 4) $ dx
⇒$\int_{-1}^{3}(6x^2 + 8x) $ dx
⇒ $\left [ 2x^{3}+4x^{2} \right ]_{-1}^{3}$
⇒ $(2.3^3 + 4.3^2) -(2(-1)^3 + 4(-1)^2)$
= 90 − 2
= 88
Jawaban : A
9. UN 2011
Hasil $\int_{2}^{4}(-x2 + 6x - 8)$ dx = ...
A.$\frac{38}{3}$ B.$\frac{26}{3}$ C.$\frac{20}{3}$ D. $\frac{16}{3}$ E. $\frac{4}{3}$
Pembahasan :
$\int_{2}^{4}(-x2 + 6x - 8)$ dx
= $\left [-\frac{1}{3}x^{3}+3x^{2}-8x \right ]_{2}^{4}$
= $-\left (\frac{1}{3}.4^3 + 3.4^2 -8.4 \right ) -(-\frac{1}{3}.2^3 + 3.2^2 - 8.2)$
= $\frac{4}{3}$
Jawaban : E
Lanjut ke Soal no 10 -19 Link.....
