Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu bentuk persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Persamaan kuadrat dengan variabel x dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut : $ax^{2}+bx+c=0$ dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0
Penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat, yaitu nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut atau dengan kata lain, nilai-nilai x yang menyebabkan persamaan kuadrat tersebut bernilai benar.
Sebagai contoh, akar-akar dari persamaan kuadrat $x^{2}$ - 4x + 3 = 0 adalah 1 atau 3, karena
$(1)^{2}$ - 4(1) + 3 = 0 (benar)
$(3)^{2}$- 4(3) + 3 = 0 (benar)
Yang menjadi pertanyaan adalah bagaimana mendapatkan akar-akar tersebut? Hal inilah yang akan kita bahas pada materi ini.
Secara umum ada 3 cara yang digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu :
- Memfaktorkan
- Melengkapkan kuadrat
- Rumus kuadrat
Memfaktorkan
Faktor dari $ax^{2}+bx+c=0$ dengan a = 1 dapat dinyatakan dalam bentuk : $\left ( x+p \right )\left ( x+q \right )=0$ Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :
- p + q = b
- p × q = c
Setelah difaktorkan, langkah selanjutnya adalah menyatakan faktor tersebut menjadi sama dengan nol $x + p = 0$; atau $x + q = 0$ Nilai-nilai x yang diperoleh dari persamaan diatas inilah yang kita sebut dengan akar-akar persamaan kuadrat.
Contoh Soal 1
Tentukan akar-akar dari $x^{2} + 5x + 6 = 0$
Jawab dan Pembahasannya :
a = 1 ; b = 5 ; c = 6
p + q = 5
p × q = 6
Artinya, kita akan mencari dua buah bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan 5.
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan 2, karena 3 × 2 = 6 dan 3 + 2 = 5
Dengan demikian, faktornya adalah
$(x + 3)(x + 2) = 0$
dengan akar-akarnya
x + 3 = 0 atau x + 2 = 0
x = -3 atau x = -2
Contoh Soal 2
Tentukan akar-akar dari $x^{2} + 2x − 3 = 0$
Jawab dan Pembahasannya :
p + q = 2
p × q = -3
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −1. Dengan demikian, faktornya adalah
$(x + 3)(x − 1) = 0$
dengan akar-akarnya
x + 3 = 0 atau x − 1 = 0
x = -3 atau x = 1
Jika contoh-contoh diatas telah dipahami dan dikuasai dengan baik, penyelesaian dari persamaan kuadrat dapat kita tulis lebih singkat seperti contoh berikut.
Contoh Soal 3
Tentukan akar-akar dari $x^{2}- 8x + 15 = 0$
Jawab dan Pembahasannya :
$x^{2}-8x + 15 = 0$
$(x − 3)(x − 5) = 0$ $(faktor)$
x = 3 atau x = 5 $(akar)$
Faktor dari $ax^{2}+bx+c=0$ dengan a > 1 dapat dinyatakan dalam bentuk : $\frac{\left ( ax+q \right )\left ( ax+p \right )}{a}=0$
Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :
Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :
p + q = b
p × q = ac
Contoh Soal 4
Tentukan akar-akar dari $2x^{2}$ + 5x − 3 = 0
Jawab dan Pembahasannya :
a = 2 ; b = 5 ; c = −3
p + q = 5
p × q = 2 (−3) = −6
$\frac{\left ( {\color{Green} 2}x+6 \right )\left ( {\color{Green} 2}x -1 \right )}{{\color{Green} 2}}=0$
$\frac{2(x+3)\,(2x-1)}{2}=0$
$(x+3)(2x-1)=0$
$x +3 = 0\; atau\; 2x-1 = 0$
x = −3\; atau\; x = $\frac{1}{2}$
Contoh Soal 5
Tentukan akar-akar dari $6x^{2}$ − x − 2 = 0
Jawab dan Pembahasannya :
p + q = −1
p × q = −12
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −4.
$\frac{\left ( 6x+3 \right )\left ( 6x-4 \right )}{ 6}=0$
$\frac{3(2x+1)\,2(3x-2)}{6}=0$
$\left ( 2x+1 \right )\left ( 3x-2 \right )=0$
Akar-akarnya adalah
$2x+1=0\;atau\;3x-2=0$
$x=-\frac{1}{2}\;atau\;x=\frac{2}{3}$
Melengkapkan Kuadrat
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat merupakan salah satu alternatif jika akar-akar persamaan kuadrat memuat bentuk akar (irasional) sehingga sulit untuk difaktorkan.
Melengkapkan kuadrat dilakukan dengan cara mengubah salah satu ruas menjadi bentuk kuadrat sempurna $(x + p)^{2}$.
Bentuk diatas dapat dijabarkan menjadi
$(x + p)^{2} = x^{2} + 2px + p^{2}$
dengan a = 1 , b = 2p dan $c = p^{2}$
Karena b = 2p, maka $p = \frac{b}{2}$. Akibatnya, persamaan diatas dapat kita tulis menjadi
$(x + \frac{b} {2})^{2} = x^{2} + bx + (\frac{b} {2})^{2}$ (*)
Persamaan inilah yang nantinya kita jadikan acuan dalam mengubah bentuk persamaan kuadrat ke dalam bentuk kuadrat sempurna.
Untuk lebih jelasnya, simak contoh-contoh berikut!
Contoh Soal 6
Tentukan akar-akar dari x² + 4x + 1 = 0
Jawab dan Pembahasannya :
Pindahkan konstanta c ke ruas kanan
x² + 4x = −1
Tambahkan kedua ruas dengan (\frac{b} {2})²
x² + 4x + $(\frac{4}{2})²$ = −1 +$(\frac{4}{2})²$
x² + 4x + 4 = 3
Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna dengan mengacu pada (*) sehingga diperoleh
$(x + 2)²$ = 3
Akarkan kedua ruas sehingga diperoleh
x + 2 = ±√3
x = -2 ±√3
Jadi, akar-akarnya adalah
x = −2 + √3 atau x = −2 − √3
Apabila a ≠ 1, langkah awal yang harus dilakukan adalah membagi atau mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan sehingga diperoleh a = 1.
Contoh Soal 7
Tentukan akar-akar dari 4x² + 4x − 7 = 0
Jawab dan Pembahasannya :
Bagi kedua ruas dengan 4
x² + x − $\frac{7}{4}$ = 0
Pada tahap ini, langkah-langkahnya sama dengan contoh sebelumnya.
x² + x = $\frac{7}{4}$
x² + x + $\left (\frac{1}{2} \right )^{2} =\frac{7}{4}+\left (\frac{1}{2} \right )^{2}$
x² + x + $\frac{1}{4} = 2$
$(x + \frac{1}{2})² = 2$
x +$\frac{1}{2}$ = ±√2
x = −$\frac{1}{2}$ ±√2
Jadi, akar-akarnya adalah
x = −$\frac{1}{2}$+ √2 atau x = −$\frac{1}{2}$ − √2
Contoh Soal 8
Tentukan akar-akar dari $-\frac{1}{2}x² + x + 1 = 0$
Jawab dan Pembahasannya :
Kalikan kedua ruas dengan -2
x² − 2x − 2 = 0
x² − 2x = 2
$x^{2}-2x+\left ( \frac{-2}{2} \right )^{2}=2+\left ( \frac{-2}{2} \right )^{2}$
x² − 2x + 1 = 3
$(x − 1)² = 3$
$(x − 1)² = 3$
x − 1 = ±√3
x = 1 ±√3
Jadi, akar-akarnya adalah
x = 1 + √3 atau x = 1 − √3
Rumus Kuadrat
Sama halnya dengan melengkapkan kuadrat, rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc ini juga dapat menjadi alternatif dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat dimana akar-akarnya memuat bentuk akar (irasional). Atau untuk persamaan kuadrat yang sebenarnya bisa difaktorkan, tetapi sulit untuk difaktorkan karena memuat nilai-nilai a, b, c yang cukup besar.
Dengan mengubah bentuk $ax^{2}+bx+c=0$ ke dalam bentuk kuadrat sempurna akan diperoleh rumus kuadrat sebagai berikut :
$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Contoh Soal 9
Tentukan akar-akar dari x² + 4x + 1 = 0
Jawab dan Pembahasannya :
b = 4
c = 1
$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^{2}-4.1.1}}{2.1}$
$x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{12} }{2}$
$x_{1,2}=\frac{-4\pm2\sqrt{3} }{2}$
$x_{1,2} = -2\pm\sqrt{3}$
$x_{1} = -2+\sqrt{3}$
$x_{2} = -2-\sqrt{3}$
Contoh Soal 10
Tentukan akar-akar dari x² − 5x − 104 = 0
Jawab dan Pembahasannya :
a = 1b = −5
c = −104
$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{-5^{2}-4.1.(-104)}}{2.1}$
$x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{441} }{2}$
$x_{1,2}=\frac{-5\pm21 }{2}$
$x_{1} = \frac{-5+21}{2}=8$
$x_{1} = \frac{-5-21}{2}=-13$
Materi menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat ditemukan pada hampir semua materi matematika SMA, terutama metode pemfaktoran. Untuk itu sangat direkomendasikan untuk dipahami dan dikuasai dengan baik.
