Pembahasan Soal Matematika - Fungsi Kuadrat

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk materi pembahasan Fungsi Kuadrat yang meliputi grafik fungsi kuadrat dan menyusun fungsi kuadrat.

Grafik fungsi kuadrat

D > 0 : grafik memotong sumbu-x di dua titik

D = 0 : grafik menyinggung sumbu-x

D < 0 ; grafik tidak memotong sumbu-x

dengan D = $b^2$ − 4ac

Definit positif : a > 0 dan D < 0

Definit negatif : a < 0 dan D < 0

Menyusun Fungsi Kuadrat

Diketahui titik puncak $(xp, yp)$ dan melalui titik $(x, y). y=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}$

Memotong sumbu-x di $(x_1, 0 )$ dan $(x_2, 0 )$ dan melalui titik $(x, y)$. $y=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )$

Grafik melalui tiga titik. $y=ax^{2}+bx+c$

1. UN 2008

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum $(1, 2) dan melalui titik $(2, 3)$ adalah...

A. $y = x^2-2x+1$

B. $y = x^2-2x+3$

C. $y = x^2-2x-1$

D. $y =x^2+2x+1$

E. $y = x^2-2x-3$

Pembahasan :

Diketahui titik balik $(x_p, y_p) = (1, 2)$

dan melalui titik $(x, y) = (2, 3)$

y = a$(x - xp)^2$ + yp

3 = a$(2 -1)^2$ + 2

3 = a + 2

⇒ a = 1

y = 1 $(x -1)^2$ + 2

y = $x^2$ - 2x + 1 + 2

y = $x^2$ - 2x + 3

Jawaban : B

2. UN 2009

Jika m > 0 dan grafik $f(x) = x^2$ − mx + 5 menyinggung garis y = 2x + 1, maka nilai m = ...

A. −6             B. −2             C. 6             D. 2             E. 8

Pembahasan :

Misalkan :

$y_1 = x^2- mx + 5$

$y_2 = 2x + 1$

$y_1 = y_2$

$x^2 - mx + 5 = 2x + 1$

$x^2 -mx-2x + 5 - 1 = 0$

$x^2 - (m + 2)x + 4 = 0$

a = 1

b = −$(m + 2)$

c = 4

Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0

$b^2$ − 4ac = 0

$(-(m + 2))^2 - 4 (1) (4) = 0$

$m^2 + 4m + 4 -16 = 0$

$m^2 + 4m-12 = 0$

$(m + 6)(m -2) = 0$

m = −6 atau m = 2

Karena m > 0, maka m = 2

Jawaban : D

3. UN 2010

Grafik fungsi kuadrat $f(x) = x^2$ + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah...

A. −4             B. −3             C. 0             D. 3             E. 4

Pembahasan :

Misalkan :

$y_1 = x^2 + bx + 4$

$y_2 = 3x + 4$

$y_1 = y_2$

$x^2 + bx + 4 = 3x + 4$

$x^2 + bx -3x = 0$

$x^2 + (b -3)x = 0$

a = 1

b = b − 3

c = 0

Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0

$b^2 - 4ac = 0$

$(b - 3)^2 - 4(1)(0) = 0$

$(b - 3)^2 = 0$

b = 3

Jawaban : D

4. UN 2011

Grafik y = $px^2$ + (p + 2)x − p + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah...

A. p < −2 atau p > $-\frac{2}{5}$

B. p < $\frac{2}{5}$atau p > 2

C. p < 2 atau p > 10

D. $\frac{2}{5}$ < p < 2

E. 2 < p < 10

Pembahasan :

a = p

b = p + 2

c = −p + 4

Parabola memotong sumbu-x di dua titik :

D > 0

$b^2$ − 4ac > 0

$(p + 2)^2 - 4(p)(-p + 4) > 0$

$p^2 + 4p + 4 + 4p^2 - 16p > 0$

$5p^2 -12p + 4 > 0$

Pembuat nol :

$5p^2 - 12p + 4 = 0$

$(5p- 2)(p - 2) = 0$

$p =\frac{2}{5}$ atau p = 2

Pertidaksamaan bertanda ">", maka :

HP = {p <$\frac{2}{5}$ atau p > 2}

Jawaban : B

5. UN 2013

Nilai m yang menyebabkan fungsi kuadrat $f(x) = (m + 1)x^2$ − 2mx + m − 3 definit negatif adalah...

A. m < $-\frac{3}{2}$

B. m < −1

C. m > $\frac{3}{2}$

D. m > 1

E. 1 < m < $\frac{3}{2}$

Pembahasan :

a = m + 1

b = −2m

c = m − 3

Syarat definit negatif :

a < 0

m + 1 < 0

m < −1 $.......................(1)$

D < 0

$b^2 - 4ac < 0$

$(-2m)^2 - 4(m + 1)(m -3) < 0$

$4m^2 - 4(m^2 - 2m - 3) < 0$

$4m^2 - 4m^2 + 8m + 12 < 0$

8m + 12 < 0

8m < −12

2m < −3

m < $-\frac{3}{2} .......................(2)$

Irisan (1) dan (2) :

m < $-\frac{3}{2}$

Jawaban : A

6. UN 2013

Fungsi $f(x) = 2x^2$ − ax + 2 akan menjadi fungsi definit positif bila nilai a berada pada interval...

A. a > −4            B. a > 4            C. −4 < a < 4            D. 4 < a < 6            E. −6 < a < 4

Pembahasan :

a = 2

b = −a

c = 2

Syarat definit positif :

a > 0

2 > 0 $(memenuhi)$

D < 0

$b^2 - 4ac < 0$

$(-a)^2 - 4(2)(2) < 0$

$a^2- 16 < 0$

Pembuat nol :

$a^2- 16 = 0$

$(a + 4)(a - 4) = 0$

a = −4 atau a = 4

Pertidaksamaan bertanda "<", maka :

HP = {−4 < a < 4}

Jawaban : C

7. UN 2016

Diketahui fungsi $f(x) = (a + 1)x^2$ − 2ax + a − 2 definit negatif. Nilai a yang memenuhi adalah...

A. a < 2           B. a > −2           C. a < −1           D. a < −2           E. a > 1

Pembahasan :

a = a + 1

b = −2a

c = a − 2

Syarat definit negatif :

a < 0

a + 1 < 0

a < −1 $................................(1)$

D < 0

$b^2 - 4ac < 0$

$(-2a)^2 - 4(a + 1)(a - 2) < 0$

$4a^2 - 4(a^2 - a - 2) < 0$

$4a^2 - 4a^2 + 4a + 8 < 0$

4a + 8 < 0

4a < −8

a < −2 $..................................(2)$

Irisan $(1) dan (2) $:

a < −2

Jawaban : D

8. UN 2017

Jika grafik fungsi $y = 2x^2 + (p -1)x + 2$ menyinggung sumbu X, nilai p yang memenuhi adalah ...

A. p = 5 atau p = 2

B. p = -5 atau p = 2

C. p = 5 atau p = 3

D. p = -5 atau p = 3

E. p = 5 atau p = -3

Pembahasan :

Dari grafik fungsi diatas diperoleh :

a = 2, b = p - 1 dan c = 2

Grafik menyinggung sumbu X, maka D = 0.

$b^2 - 4ac = 0$

$(p -1)^2 - 4(2)(2) = 0$

$p^2- 2p + 1 - 16 = 0$

$p^2- 2p - 15 = 0$

$(p - 5)(p + 3) = 0$

p = 5 atau p = -3

Jawaban : E

9. UN 2018

Diketahui grafik fungsi kuadrat seperti pada gambar. Koordinat titik potong grafik dengan sumbu x adalah

A. $(-1, 0)$ dan $(-8, 0)$

B. $(-1, 0)$ dan $(8, 0)$

C. $(1, 0) $dan $(-8, 0)$

D. $(1, 0)$ dan $(8, 0)$

E.$ (2, 0)$ dan $(8, 0)$

Pembahasan :

Diketahui titik puncak $(x_p, y_p) = (\frac{9}{2}, \frac{-49}{4})$

$y=a\left ( x-\frac{9}{2} \right )^{2}-\frac{49}{4}..........(1)$

Grafik melalui titik $(x, y) = (0, 8)$

$8=a\left ( 0-\frac{9}{2} \right )^{2}-\frac{49}{4}$
$8=\frac{81}{4}a-\frac{49}{4}
$32=81a-49$
$81=81a$
$a=1$

Substitusi a = 1, ke persamaan $(1)$

$y=1\left (x-\frac{9}{2} \right )^{2}-\frac{49}{4}$

$y=x^{2}-9x+\frac{81}{4}-\frac{49}{4}$
$y=x^{2}-9x+8$

Titik potong sumbu-x → y = 0

$0=x^{2}-9x+8$
$0=(x-1)(x-8)$
$x=1\;\;atau\;\;x=8$

Diperoleh titik potong sumbu-x

$(1, 0)$ dan $(8, 0)$

Jawaban : D