Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ adalah α dan β, maka jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut dapat ditentukan dengan rumus :
$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$
$\alpha \beta =\frac{c}{a}$
Untuk selisih akar-akar persamaan kuadrat, dirumuskan sebagai berikut :
$\alpha -\beta =\frac{\sqrt{D}}{a};\alpha > \beta$
$\alpha -\beta =-\frac{\sqrt{D}}{a};\alpha< \beta$
dengan D adalah diskriminan persamaan kuadrat, dirumuskan dengan :
Contoh Soal 1
Akar-akar persamaan kuadrat$x^{2}-3x+2=0$ adalah α dan β. Untuk α > β, tentukan nilai dari :
a. α + β
b. αβ
c. α − β
d. $\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta }$
e. $α^2 + β^2$
f. $α^2 - β^2$
g. $\frac{\alpha }{\beta}+\frac{\beta }{\alpha }$
h. $α^3 + β^3$
i. $α^3 - β^3$
Jawab dan Pembahasannya :
a = 1
b = −3
c = 2
a. α + β = $-\frac{b}{a }$
a. α + β = $-\frac{(-3)}{1 }$
a. α + β = 3
b. αβ = $\frac{c}{a }$
b. αβ =$\frac{2}{1 }$
b. αβ = 2
c. α − β = $\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}$
c. α − β =$\frac{\sqrt{(-3)^{2}-4.1.2}}{1}$
c. α − β = 1
d. $\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta } = \frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }$
d.$\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta }$ =$\frac{3}{2}$
e. $α^2 + β^2$ = $(α + β)^2$ − 2αβ
e. $α^2 + β^2$ = $(3)^2$ − 2.2
e. $α^2 + β^2$ = 5
f. $α^2 - β^2$ = $(α + β)(α -β)$
f. $α^2 -β^2$ = $(3)(1)$
f. $α^2 - β^2$ = 3
g.$\frac{\alpha }{\beta } +\frac{\beta }{\alpha } =\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \beta }$
g.$\frac{\alpha }{\beta } +\frac{\beta }{\alpha }$=$\frac{5}{2}$
h. $α^3 + β^3 = (α + β)^3- 3αβ(α + β)$
h.$ α^3 + β^3$ = $(3)^3 -3.2(3)$
h. $α^3 + β^3$ = 9
i. $α^3- β^3 = (α-β)^3 + 3αβ(α-β)$
i. α^3 − β^3 = $(1)^3 + 3.2(1)$
i. α^3 − β^3 = 7
Contoh Soal 2
Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-(m+2)x+8=0$ adalah α dan β dengan α, β > 0. Jika $\alpha =2\beta $, maka nilai m adalah...
Jawab dan Pembahasannya :
a = 1
b = −(m + 2)
c = 8
α + β = $-\frac{b}{a}$
α + β = $-\frac{-(m + 2)}{1}$
α + β = m + 2 .........................(1)
αβ = $\frac{c}{a}$
αβ =$\frac{8}{1}$
αβ = 8 .....................................(2)
Substitusi α = 2β ke (2)
$(2β)β = 8$
$β2 = 4$
$β = ±2$
Karena β > 0, maka β = 2
Substitusi α = 2β ke (1)
$(2β) + β = m + 2$
3β = m + 2
3.2 = m + 2
⇒ m = 4
Contoh Soal 3
Akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ adalah α dan β. Jika $\alpha =n\beta $, tunjukkan bahwa $nb^{2}=ac(n+1)^{2}$ !
Jawab dan Pembahasannya :
α + β = $-\frac{b}{a}$ .......................(1)
αβ = \$\frac{c}{a}$ ...............................(2)
Substitusi α = nβ ke (1)
$(nβ) + β$ = $-\frac{b}{a}$
$β(n + 1)$ = $-\frac{b}{a}$
β = $-\frac{b}{a(n+1)}$ .................... (3)
Substitusi α = nβ ke (2)
$(nβ)β = \frac{c}{a}$
$nβ^2 = \frac{c}{a}$
$β^2 = \frac{c}{an}$ .............................(4)
Substitusi (3) ke (4)
$\left (\frac{-b}{a(n+1)} \right )^{2}=\frac{c}{an}$
$\frac{b^{2}}{a^{2}(n+1)^{2}}=\frac{c}{an}$
$anb^2 = a^2c(n + 1)^2$
$nb^2 = ac(n + 1)^2$
Contoh Soal 4
Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+(k-1)x+3=0$ adalah α dan β. Jika $\alpha =3\beta$ dan k > 0, maka nilai k yang memenuhi adalah...
Jawab dan Pembahasannya :
a = 1
b = k − 1
c = 3
α = 3β ⇒ n = 3
$nb^2 = ac(n + 1)^2$
$3 (k − 1)^2 = 1.3 (3 + 1)^2$
$(k − 1)^2 = 16$
k − 1 = ±4
k = 1 ± 4
k = 1 + 4 atau k = 1 − 4
k = 5 atau k = −3
Karena k > 0, maka k = 5
Untuk Melengkapi pemahaman kita tentang materi matematika "Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat" admin sudah menyediakan contoh-contoh soal dan pembahasan pada link berikut ini
$D=b^{2}-4ac$
Contoh Soal 1
Akar-akar persamaan kuadrat$x^{2}-3x+2=0$ adalah α dan β. Untuk α > β, tentukan nilai dari :
a. α + β
b. αβ
c. α − β
d. $\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta }$
e. $α^2 + β^2$
f. $α^2 - β^2$
g. $\frac{\alpha }{\beta}+\frac{\beta }{\alpha }$
h. $α^3 + β^3$
i. $α^3 - β^3$
Jawab dan Pembahasannya :
a = 1
b = −3
c = 2
a. α + β = $-\frac{b}{a }$
a. α + β = $-\frac{(-3)}{1 }$
a. α + β = 3
b. αβ = $\frac{c}{a }$
b. αβ =$\frac{2}{1 }$
b. αβ = 2
c. α − β = $\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a}$
c. α − β =$\frac{\sqrt{(-3)^{2}-4.1.2}}{1}$
c. α − β = 1
d. $\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta } = \frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }$
d.$\frac{1}{\alpha } + \frac{1}{\beta }$ =$\frac{3}{2}$
e. $α^2 + β^2$ = $(α + β)^2$ − 2αβ
e. $α^2 + β^2$ = $(3)^2$ − 2.2
e. $α^2 + β^2$ = 5
f. $α^2 - β^2$ = $(α + β)(α -β)$
f. $α^2 -β^2$ = $(3)(1)$
f. $α^2 - β^2$ = 3
g.$\frac{\alpha }{\beta } +\frac{\beta }{\alpha } =\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \beta }$
g.$\frac{\alpha }{\beta } +\frac{\beta }{\alpha }$=$\frac{5}{2}$
h. $α^3 + β^3 = (α + β)^3- 3αβ(α + β)$
h.$ α^3 + β^3$ = $(3)^3 -3.2(3)$
h. $α^3 + β^3$ = 9
i. $α^3- β^3 = (α-β)^3 + 3αβ(α-β)$
i. α^3 − β^3 = $(1)^3 + 3.2(1)$
i. α^3 − β^3 = 7
Contoh Soal 2
Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-(m+2)x+8=0$ adalah α dan β dengan α, β > 0. Jika $\alpha =2\beta $, maka nilai m adalah...
Jawab dan Pembahasannya :
a = 1
b = −(m + 2)
c = 8
α + β = $-\frac{b}{a}$
α + β = $-\frac{-(m + 2)}{1}$
α + β = m + 2 .........................(1)
αβ = $\frac{c}{a}$
αβ =$\frac{8}{1}$
αβ = 8 .....................................(2)
Substitusi α = 2β ke (2)
$(2β)β = 8$
$β2 = 4$
$β = ±2$
Karena β > 0, maka β = 2
Substitusi α = 2β ke (1)
$(2β) + β = m + 2$
3β = m + 2
3.2 = m + 2
⇒ m = 4
Contoh Soal 3
Akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ adalah α dan β. Jika $\alpha =n\beta $, tunjukkan bahwa $nb^{2}=ac(n+1)^{2}$ !
Jawab dan Pembahasannya :
α + β = $-\frac{b}{a}$ .......................(1)
αβ = \$\frac{c}{a}$ ...............................(2)
Substitusi α = nβ ke (1)
$(nβ) + β$ = $-\frac{b}{a}$
$β(n + 1)$ = $-\frac{b}{a}$
β = $-\frac{b}{a(n+1)}$ .................... (3)
Substitusi α = nβ ke (2)
$(nβ)β = \frac{c}{a}$
$nβ^2 = \frac{c}{a}$
$β^2 = \frac{c}{an}$ .............................(4)
Substitusi (3) ke (4)
$\left (\frac{-b}{a(n+1)} \right )^{2}=\frac{c}{an}$
$\frac{b^{2}}{a^{2}(n+1)^{2}}=\frac{c}{an}$
$anb^2 = a^2c(n + 1)^2$
$nb^2 = ac(n + 1)^2$
Contoh Soal 4
Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+(k-1)x+3=0$ adalah α dan β. Jika $\alpha =3\beta$ dan k > 0, maka nilai k yang memenuhi adalah...
Jawab dan Pembahasannya :
a = 1
b = k − 1
c = 3
α = 3β ⇒ n = 3
$nb^2 = ac(n + 1)^2$
$3 (k − 1)^2 = 1.3 (3 + 1)^2$
$(k − 1)^2 = 16$
k − 1 = ±4
k = 1 ± 4
k = 1 + 4 atau k = 1 − 4
k = 5 atau k = −3
Karena k > 0, maka k = 5
Untuk Melengkapi pemahaman kita tentang materi matematika "Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat" admin sudah menyediakan contoh-contoh soal dan pembahasan pada link berikut ini
