Jenis dan Sifat Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Jenis akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dapat ditentukan berdasarkan nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut.Diskriminan persamaan kuadrat dilambangkan dengan D dan dirumuskan dengan : $D=b^{2}-4ac$
1. D ≥ 0 : akar real/nyata
2. D > 0 : akar real berlainan
3. D = 0 : akar real sama/kembar
4. D < 0 : akar tidak real $(imajiner)$
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :
1. Kedua akar positif
D ≥ 0
$x_1 + x_2 > 0$
$x_1 x_2 > 0$
2. Kedua akar negatif
D ≥ 0
$x_1 + x_2 < 0$
$x_1 x_2 > 0$
3. Kedua akar berlainan tanda
D > 0
$x_1 x_2 < 0$
4. Kedua akar bertanda sama
D ≥ 0
$x_1 x_2 > 0$
5. Kedua akar saling berlawanan
D > 0
$x_1 + x_2 = 0 (b = 0)$
$x_1 x_2 < 0$
6. Kedua akar saling berkebalikan
D > 0
$x_1 x_2 = 1 (c = a)$
Contoh Soal 1
Jika persamaan kuadrat $x^{2}-6x+2p-1=0$ tidak mempunyai akar real, maka nilai p yang memenuhi adalah...
Jawaban dan Pembahasannya :
a = 1
b = −6
c = 2p − 1
Syarat PK tidak mempunyai akar real :
D < 0
$b^2 -4ac < 0$
$(-6)2 - 4 . 1 . (2p- 1) < 0$
$36- 8p + 4 < 0$
$-8p < -40$
$p > 5$
Contoh Soal 2
Tentukan nilai m jika persamaan kuadrat $(m+1)x^{2}-8x+2=0$ mempunyai akar kembar!
Jawaban dan Pembahasannya :
a = m + 1
b = −8
c = 2
Syarat PK mempunyai akar kembar :
D = 0
$b^2- 4ac = 0$
$(-8)^2- 4 . (m + 1) . 2 = 0$
$64-8m -8 = 0$
$56-8m = 0$
$-8m =-56$
$m = 7$
Contoh Soal 3
Jika persamaan kuadrat $x^{2}+(k-1)x+1=0$ mempunyai akar-akar real dan berbeda, maka nilai k yang memenuhi adalah...
Jawaban dan Pembahasannya :
a = 1
b = k − 1
c = 1
Syarat akar real dan berbeda :
D > 0
$b^2 -4ac > 0$
$(k -1)^2 -4 . 1 . 1 > 0$
$k^2- 2k + 1-4 > 0$
$k^2- 2k − 3 > 0$
Pembuat nol :
$k^2- 2k -3 = 0$
$(k + 1)(k -3) = 0$
k = −1 atau k = 3
k < −1 atau k > 3
Contoh Soal 4
Jika akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+(m-3)x+1-m^{2}=0$ saling berlawanan, tentukan nilai dari$x{_{1}}^{2}+x{_{2}}^{2}$
Jawaban dan Pembahasannya :
a = 2
b = m − 3
c = 1 − m2
Kedua akar saling berlawanan, maka :
$x_1 + x_2 = 0$
$-\frac{b}{a}= 0$
b = 0
m − 3 = 0
m = 3
$x_1 x_2$ =$\frac{c}{a}$
$x_1 x_2$ =$\frac{1-m^{2}}{2}$
$x_1 x_2$ =$\frac{1-3^{2}}{2}$
$x_1 x_2$ = -4
$x_{1}^{2} +x_{2}^{2}$ = $(x_1 + x_2)^2 − 2x_1 x_2$
$x_{1}^{2} +x_{2}^{2}$ = $(0)^2 − 2(−4)$
$x_{1}^{2} +x_{2}^{2}$ = 8
Contoh Soal 5
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $(2p+1)x^{2}+25x+p^{2}-14=0$ saling berkebalikan. Untuk p > 0, maka nilai p yang memenuhi adalah...
Jawaban dan Pembahasannya :
a = 2p + 1
b = 25
c = $p^2 -14$
Kedua akar saling berkebalikan maka :
$x_1 x_2 = 1$
$\frac{c}{a}= 1$
c = a
$p^2 - 14 = 2p + 1$
$p^2 -2p - 15 = 0$
$(p - 5)(p + 3) = 0$
p = 5 atau p = −3
Karena p > 0, maka nilai p yang memenuhi adalah p = 5
Untuk melengkapi pengetahuan kita dalam belajar materi Jenis dan Sifat Akar-Akar Persamaan Kuadrat admin juga menyediakan contoh soal dan pembahasannya pada link berikut
3. D = 0 : akar real sama/kembar
4. D < 0 : akar tidak real $(imajiner)$
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :
1. Kedua akar positif
D ≥ 0
$x_1 + x_2 > 0$
$x_1 x_2 > 0$
2. Kedua akar negatif
D ≥ 0
$x_1 + x_2 < 0$
$x_1 x_2 > 0$
3. Kedua akar berlainan tanda
D > 0
$x_1 x_2 < 0$
4. Kedua akar bertanda sama
D ≥ 0
$x_1 x_2 > 0$
5. Kedua akar saling berlawanan
D > 0
$x_1 + x_2 = 0 (b = 0)$
$x_1 x_2 < 0$
6. Kedua akar saling berkebalikan
D > 0
$x_1 x_2 = 1 (c = a)$
Contoh Soal 1
Jika persamaan kuadrat $x^{2}-6x+2p-1=0$ tidak mempunyai akar real, maka nilai p yang memenuhi adalah...
Jawaban dan Pembahasannya :
a = 1
b = −6
c = 2p − 1
Syarat PK tidak mempunyai akar real :
D < 0
$b^2 -4ac < 0$
$(-6)2 - 4 . 1 . (2p- 1) < 0$
$36- 8p + 4 < 0$
$-8p < -40$
$p > 5$
Contoh Soal 2
Tentukan nilai m jika persamaan kuadrat $(m+1)x^{2}-8x+2=0$ mempunyai akar kembar!
Jawaban dan Pembahasannya :
a = m + 1
b = −8
c = 2
Syarat PK mempunyai akar kembar :
D = 0
$b^2- 4ac = 0$
$(-8)^2- 4 . (m + 1) . 2 = 0$
$64-8m -8 = 0$
$56-8m = 0$
$-8m =-56$
$m = 7$
Contoh Soal 3
Jika persamaan kuadrat $x^{2}+(k-1)x+1=0$ mempunyai akar-akar real dan berbeda, maka nilai k yang memenuhi adalah...
Jawaban dan Pembahasannya :
a = 1
b = k − 1
c = 1
Syarat akar real dan berbeda :
D > 0
$b^2 -4ac > 0$
$(k -1)^2 -4 . 1 . 1 > 0$
$k^2- 2k + 1-4 > 0$
$k^2- 2k − 3 > 0$
Pembuat nol :
$k^2- 2k -3 = 0$
$(k + 1)(k -3) = 0$
k = −1 atau k = 3
Contoh Soal 4
Jika akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+(m-3)x+1-m^{2}=0$ saling berlawanan, tentukan nilai dari$x{_{1}}^{2}+x{_{2}}^{2}$
Jawaban dan Pembahasannya :
a = 2
b = m − 3
c = 1 − m2
Kedua akar saling berlawanan, maka :
$x_1 + x_2 = 0$
$-\frac{b}{a}= 0$
b = 0
m − 3 = 0
m = 3
$x_1 x_2$ =$\frac{c}{a}$
$x_1 x_2$ =$\frac{1-m^{2}}{2}$
$x_1 x_2$ =$\frac{1-3^{2}}{2}$
$x_1 x_2$ = -4
$x_{1}^{2} +x_{2}^{2}$ = $(x_1 + x_2)^2 − 2x_1 x_2$
$x_{1}^{2} +x_{2}^{2}$ = $(0)^2 − 2(−4)$
$x_{1}^{2} +x_{2}^{2}$ = 8
Contoh Soal 5
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $(2p+1)x^{2}+25x+p^{2}-14=0$ saling berkebalikan. Untuk p > 0, maka nilai p yang memenuhi adalah...
Jawaban dan Pembahasannya :
a = 2p + 1
b = 25
c = $p^2 -14$
Kedua akar saling berkebalikan maka :
$x_1 x_2 = 1$
$\frac{c}{a}= 1$
c = a
$p^2 - 14 = 2p + 1$
$p^2 -2p - 15 = 0$
$(p - 5)(p + 3) = 0$
p = 5 atau p = −3
Karena p > 0, maka nilai p yang memenuhi adalah p = 5
Untuk melengkapi pengetahuan kita dalam belajar materi Jenis dan Sifat Akar-Akar Persamaan Kuadrat admin juga menyediakan contoh soal dan pembahasannya pada link berikut
