Matematika : Integral Substitusi

Integral Substitusi

Integral dengan teknik/metode substitusi digunakan ketika proses pengintegralan tidak bisa diselesaikan dengan rumus-rumus dasar integral, atau seandainya bisa diselesaikan namun akan memerlukan proses yang cukup panjang.

Dalam pengintegralan dengan metode substitusi, tentunya kita harus sudah menguasai konsep-konsep turunan, dimana $\frac{du}{dx}$ adalah turunan u terhadap x..

Misalkan u = 2x + 1, turunan u terhadap x ditulis :

$\frac{du}{dx}$= 2 ⇔ du = 2 dx

Untuk memahami proses pengintegralan dengan metode substitusi, simaklah contoh-contoh berikut.

Contoh Soal 1

∫ $x^2 (x^3 + 5)^7$ dx = ...

Jawaban dan Pembahasannya :

Misalkan : $u = x^3 + 5$

$\frac{du}{dx} = 3x^2$   ⇔ $\frac{du}{3} = x^2 dx$

$\int x^{2}(x^{3}+5)^{7}$ dx   & = $\int (x^{3}+5)^{7},x^{2}dx$

=$\int u^{7},\frac{du}{3}$

=$\frac{1}{3}\int u^{7}du$

=$\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}u^{8}+C$

=$\frac{1}{24}u^{8}+C$

=$\frac{1}{24}(x^{3}+5)^{8}+C$

Contoh Soal 2 

$\int\frac{4x}{\sqrt{x^{2}-2}}$ dx = ...

Jawaban dan Pembahasannya :

Misalkan : $u = x^2-2$

$\frac{du}{dx} = 2x$   ⇔ $\frac{du}{2} = x$ dx

$\int\frac{4x}{\sqrt{x^{2}-2}}$ dx  & = $4\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-2}}\cdot x$, dx

& = $4\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot \frac{du}{2}$

& = $\frac{4}{2}\int u^{-\frac{1}{2}},du$

& = $2\cdot 2u^{\frac{1}{2}}+C$

& = $4\sqrt{u}+C$

& = $4\sqrt{x^{2}-2}+C$

Contoh Soal 3

∫ $x(x + 4)^7$ dx = ...

Jawaban dan Pembahasannya :

Misalkan : u = x + 4 maka x = u - 4

$\frac{du}{dx}$ = 1 ⇔ du = dx

$\int x(x+4)^{7},dx$ & = $\int (u-4)u^{7},du$\

& = $\int \left (u^{8}-4u^{7} \right )du$

& = $\frac{1}{9}u^{9}-\frac{1}{2}u^{8}+C$

& = $\frac{1}{18}\left (2u^{9}-9u^{8} \right )+C$

& = $\frac{1}{18}\left (2u-9 \right )u^{8}+C$

& = $\frac{1}{18}\left (2(x+4)-9 \right )(x+4)^{8}+C$

& = $\frac{1}{18}(2x-1)(x+4)^{8}+C$

Untuk fungsi-fungsi trigonometri, langkah-langkah pengintegralannya sama saja dengan fungsi aljabar diatas, tetapi untuk kasus-kasus tertentu kita harus mengubah terlebih dahulu fungsi yang akan diintegralkan sebelum melakukan pemisalan.

Contoh Soal 4

∫ $cos^{4}x$ sin x dx = ...

Jawaban dan Pembahasannya :

Misalkan : u = cos x

$\frac{du}{dx} = -sin$ x ⇔ -du = sin x dx

$\int cos^{4}x.sin.x.dx$ & = $\int u^{4},(-du)$

& =$-\int u^{4},du$

& =$-\frac{1}{5}u^{5}+C$

& =$-\frac{1}{5}cos^{5}x+C$

Contoh Soal 4

∫ cos^{5}x dx = ...

Jawaban dan Pembahasannya :

$\int cos^{5}x,dx$ & = $\int \left (cos^{2}x \right )^{2}$ cos x dx

& = $\int \left (1-sin^{2}x \right )^{2}$ cos x dx

& =$\int \left (1-2\,sin^{2}x+sin^{4}x \right )cos\,x\,dx$

Misalkan : u = sin x

$\frac{du}{dx}$= cos x ⇔ du = cos x dx

$\int cos^{5}$x dx & = $\int \left (1-2sin^{2}x+sin^{4}x \right )$ cos x dx

& =$\int \left ( 1-2u^{2}+u^{4} \right )du$

& =$u-\frac{2}{3}u^{3}+\frac{1}{5}u^{5}+C$

& = sin x $-\frac{2}{3}sin^{3}x+\frac{1}{5}sin^{5}x+C$

Untuk Latihan Soal Integral SubstitusiBerikut beberapa contoh soal yang dapat dijadikan latihan untuk menambah pemahaman menyangkut integral dengan metode/teknik substitusi bisa dilihat pada link berikut ini