 |
| Matematika : Deret Geometri Tak Hingga |
Bentuk umum dari deret geometri tak hingga adalah
$a + ar + ar^2 + ar^3 + ...$
dimana a adalah suku pertama dan r adalah rasio.
Tanda titik tiga $(...)$ diatas menandakan bahwa penjumlahan dilanjutkan terus menerus dengan mengikuti pola deret tersebut.
Ada dua istilah yang sering digunakan menyangkut barisan/deret tak hingga, yaitu konvergen dan divergen.
Konvergen artinya memusat atau menuju ke suatu titik tertentu. Sebaliknya, divergen artinya tidak memusat, bisa jadi menyebar, berisolasi, atau mungkin konstan, yang pasti tidak menuju ke suatu titik tertentu.
Pada deret geometri, kekonvergenan dapat dilihat dari rasio deret tersebut.
Deret geometri tak hingga dikatakan konvergen dan mempunyai jumlah jika dan hanya jika |r| < 1.
Deret geometri tak hingga dikatakan divergen jika dan hanya jika |r| ≥ 1. Deret divergen tidak mempunyai jumlah.
Catatan :
|r| < 1 ≡ -1 < r < 1
|r| ≥ 1 ≡ r ≤ -1 atau r ≥ 1
Contoh Soal 1
Periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen dengan mengamati rasionya!
$(a) 3 + 6 + 12 + 24 + ...$
$(b) 2 + 2 + 2 + 2 + ...$
$(c) \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...$
$(d) 3 - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + ...$
$(e) -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...$
$(f) 2 - 6 + 18 - 54 + ...$
Jawab :
$(a) 3 + 6 + 12 + 24 + ... (divergen)$
karena |r| = |2| ≥ 1
$(b) 2 + 2 + 2 + 2 + ... (divergen)$
karena |r| = |1| ≥ 1
$(c) \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...(konvergen)$
karena |r| = |1/2| < 1
$(d) 3 - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + ...(konvergen)$
karena |r| = |-1/3| < 1
$(e) -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... (divergen)$
karena |r| = |-1| ≥ 1
$(f) 2 - 6 + 18 - 54 + ... (divergen)$
karena |r| = |-3| ≥ 1
Coba perhatikan kembali rumus jumlah parsial n suku pertama barisan geometri berikut :
$S_{n}=\frac{a(1-\;r^{n})}{1-\;r},\; r\neq 1.$
Ketika n semakin besar, tentunya semakin banyak suku-suku yang dijumlahkan. Bagaimana jika n menuju tak hingga? Apakah Sn juga akan menuju ke suatu bilangan tertentu ?
Seandainya $S_n$ menuju ke suatu bilangan S ketika n menuju tak hingga, cukup beralasan jika kita mengatakan bahwa S adalah jumlah dari deret tak hingga tersebut.
Jumlah dari suatu deret geometri tak hingga adalah suatu nilai yang dituju Sn (jumlah parsial deret tersebut), ketika n bertambah besar menuju tak hingga.
Dengan kata lain, jumlah dari suatu deret geometri tak hingga adalah limit dari jumlah parsial deret tersebut. Dalam notasi limit kita tulis $S=\lim_{n \to \infty}\,S_{n}$
Dengan demikian, jumlah dari deret geometri tak hingga dapat dinyatakan sebagai $S=\lim_{n \to \infty}\,\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$
Jika |r| < 1 maka limit dari rn untuk n menuju tak hingga akan sama dengan nol. Akibatnya, $\lim_{n \to \infty}\,\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{a}{1-r}$
Misalkan $S = a + ar + ar^2 + ...$
Jika |r| < 1, maka $S=\frac{a}{1-r}$
Contoh Soal 2
Hitung jumlah deret tak hingga berikut!
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...$
Jawab :
a = 1 dan $r = \frac{1}{2}$
Jumlah deret tak hingga tersebut adalah
$S=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$
Setelah mempelajari materi tentang deret aritmatika dan deret geometri, mungkin ada dari kita yang bertanya, mengapa deret tak hingga hanya dibahas pada deret geometri, sedangkan deret aritmatika tidak.
Jawabannya sederhana, deret aritmatika sudah pasti divergen, karena suku-sukunya tidak pernah menuju ke suatu bilangan tertentu, melainkan terus bertambah besar $(b > 0)$ atau bertambah kecil $(b < 0)$. Sehingga, jumlah tak hingga suku-sukunya tidak ada $(\pm ,\infty )$. Tentu saja hal ini tidak menarik untuk dibahas.
Untuk melengkapi pemahaman kita tentang Deret Geometri tak hingga admin Kelas MIPA sudah menyediakan contoh soal dan pembahasannya secara lengkap pada postingan berikut ini dan disajikan pada link berikut ini
