Pembahasan Soal Matematika - Deret Geometri tak Hingga

Pembahasan Soal Matematika - Deret Geometri tak Hingga

Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga

Soal Latihan 1

Rumus suku ke-n suatu barisan geometri dinyatakan dengan $U_n = 3^{-n}$. Tentukan jumlah tak hingga suku-suku dari barisan tersebut!

Pembahasannya :

Diketahui : 

$U_n = 3^{-n}$.

$U_1 = 3^{-1}.= \frac{1}{3}$

$U_2 = 3^{-2}= \frac{1}{9}$

Diperoleh

$a =\frac{1}{3}$

$r = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}$

$r = \frac{1}{3}$

Jumlah tak hingga suku-sukunya adalah

$\mathrm{S=\frac{a}{1-r}\;\; \Rightarrow \;\; S=\frac{ \frac{1}{3}}{1- \frac{1}{3}}= \frac{1}{2}}$

Soal Latihan 2

Jika jumlah dari deret geometri tak hingga sama dengan tiga kali suku pertamanya, maka rasio deret tersebut adalah ...

Pembahasannya :

Diketahui : S = 3a

$S=\frac{a}{1-r}\;\;\Leftrightarrow \;\;3a=\frac{a}{1-r} \\$

$1-r=\frac{a}{3a} \\$

$1-r=\frac{1}{3} \\$

$r=\frac{2}{3}$

Jadi, rasio deret tersebut adalah $\frac{2}{3}$.

Soal Latihan 3

Misalkan suku pertama deret geometri tak hingga adalah a. Tentukan batas-batas nilai a agar deret tersebut konvergen dengan jumlah 2.

Pembahasannya :

Dikethaui S = 2

$S=\frac{a}{1-r}\;\;\Leftrightarrow \;\;2=\frac{a}{1-r} \\$

$a= 2(1-r) \\$

$a= 2-2r \\$

$2r=2-a \\$

$r= \frac{2-a}{2}$

Agar deret geometri yang dimaksud konvergen, haruslah -1 < r < 1

$-1<\frac{2-a}{2}<1\;\;\;(kali\; 2) \\$

$-2<2-a<2\;\;\;(kurang\;2) \\$

$-4<-a<0\;\;\;\;\;\;\,(kali\;(-1)) \\$

$4>a>0 \\$

$0<a<4$

Jadi, deret tersebut akan konvergen dengan jumlah 2, ketika 0 < a < 4

Soal Latihan 4

Tentukan x agar jumlah tak hingga dari deret geometri berikut sama dengan 1

$\frac{3}{(x+3)}+\frac{6}{(x+3)^{2}}+\frac{12}{(x+3)^{3}}+\;...$

Pembahasannya :

Suku pertama deret tersebut adalah

$a = \frac{3}{(x+3)}$

Rasio dari deret tersebut adalah

$r = \frac{U_{2}}{U_{1}}= \frac{2}{x+3}$

Diketahui S = 1

$S=\frac{a}{1-r}\;\;\Leftrightarrow \;\;1=\frac{a}{1-r}$

$1-r= a$

$1= a+r$

$1= \frac{3}{x+3}+\frac{2}{x+3} $

$1= \frac{5}{x+3} $

$x+3= 5 $

$x=2$

Soal Latihan 5

Tentukan nilai dari pq, jika diketahui

$p = log\; 2 + log\; 2^2 + log\;3^2 + log\;4^2 + ...$

$q = log\;  5 + log\; 2^5 + log\;3^5 + log\;4^5 + ...$

Pembahasannya :

$p = log\; 2 + log\;2^2 + log\;3^2 + log\;4^2 + ...$

Dari deret diatas kita dapatkan

$a = log\; 2 , r = log\; 2\; dan\; S\; = p$

$S=\frac{a}{1-r}\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;p=\frac{log\,2}{1-log\,2}$

$=\frac{log\,2}{log\,10-log\,2} $

$=\frac{log\,2}{log\,5} $

$= \,^{5}log\,2$

$q = log\; 5 + log\;2^5 + log\;3^5 + log\;4^5 + ...$

Dari deret diatas kita dapatkan

$a = log\; 5 , r = log\; 5\; dan\; S = q$

$S=\frac{a}{1-r}\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;q=\frac{log\,5}{1-log\,5}$

$=\frac{log\,5}{log\,10-log\,5} $

$=\frac{log\,5}{log\,2} $

$= \,^{2}log\,5$

$Jadi,\; pq = ^5log 2 . $2log 5 = ^5log 5 = 1$

Soal Latihan 6

Tunjukkan bahwa perbandingan dari jumlah suku-suku genap $(S\;genap)$ dengan jumlah suku-suku ganjil $(S\;ganjil)$ dari suatu deret geometri tak hingga sama dengan rasio deret tak hingga tersebut

$\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=r$

Pembahasannya :

Jumlah suku suku genapnya :

$S_{genap} = U_2 + U_4 + U_6 + ...$

$S_{genap} = ar + ar^3 + ar^5 + ... $

Perhatikan bahwa jumlah suku-suku genapnya membentuk deret geometri dengan suku pertama ar dan rasio $r^2$. Jadi, jumlah tak hingga suku genapnya adalah 

$S_{genap}=\frac{ar}{1-r^{2}}$

Jumlah suku-suku ganjilnya :

$S_{ganjil} = U_1 + U_3 + U_5 + ...$

$S_{ganjil} = a + ar^2 + ar^4 + ... $

Perhatikan bahwa jumlah suku-suku ganjilnya membentuk deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r2. Jadi, jumlah tak hingga suku ganjilnya adalah 

$S_{ganjil}=\frac{a}{1-r^{2}}$

Perbandingan Sgenap dengan Sganjil :

$\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=\frac{\frac{ar}{(1-r^{2})}}{\frac{a}{(1-r^{2})}}=r$

Jadi, $\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=r$

Soal Latihan 7

Suatu deret geometri tak hingga konvergen dengan jumlah 6. Apabila jumlah suku-suku genapnya sama dengan 2, tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut!

Pembahasannya :

Diketahui : S = 6 dan $S_{genap} = 2$

$S = S_{genap} + S_{ganjil}$ , akibatnya

$S_{ganjil} = S - S_{genap} = 6 - 2 = 4$

$r=\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$S=\frac{a}{1-r}\;\;\Leftrightarrow 6=\frac{a}{1-\frac{1}{2}} \\$

$a=6(1-\frac{1}{2})=3$

Jadi, suku pertama dan rasio deret tersebut adalah

a = 3 dan $r = \frac{1}{2}$

Soal Latihan 8

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dari permukaan tanah. Apabila bola tersebut selalu memantul $\frac{2}{3}$ kali dari ketinggian sebelumnya, tentukan panjang lintasan bola mulai dijatuhkan sampai berhenti..

Pembahasannya :

Panjang lintasan $(PL)$ bola yang dijatuhkan dari ketinggian a, dengan rasio pantulan r, dapat dihitung dengan menggunakan rumus

$PL = 2S - a$

Dari soal diketahui a = 10 dan $r = \frac{2}{3}$

$PL=2S-a \\$

$=2( \frac{a}{1-r} )-a \\$

$=2 ( \frac{10}{1-\frac{2}{3}})-10 \\$

$=2(30)-10 \\$

$=50$

Jadi, panjang lintasan bola saat dijatuhkan hingga bola berhenti adalah 50 m.

Soal Latihan 9

Dengan menggunakan rumus deret geometri tak hingga, tunjukkan bahwa 0,999... = 1

Pembahasannya :

Misalkan S = 0,999...

Dapat kita tulis, S = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Penjumlahan diatas membentuk deret geometri dengan a = 0,9 dan r = 0,1 sehingga jumlah tak hingganya adalah

$S=\frac{a}{1-r}=\frac{0,9}{1-0,1}=\frac{0,9}{0,9}=1$

Kita simpulkan, S = 0,999... = 1

Soal Latihan 10

Dengan menggunakan rumus deret geometri tak hingga, nyatakan bentuk desimal berulang 1,272727... ke dalam bentuk bilangan rasional (pecahan).

Pembahasannya :

Misalkan S = 1,272727...

Dapat kita tulis,

$S =1 + (0,27 + 0,0027 + 0,000027 + ...)$

Penjumlahan diatas [dalam tanda kurung] membentuk deret geometri dengan

a = 0,27 dan r = 0,01

sehingga jumlah tak hingganya adalah

$S=1+ (\frac{0,27}{1-0,01} )$

$=1+\frac{0,27}{0,99}$

$=1+\frac{3}{11}$

$=\frac{14}{11}$

Jadi, $1,272727... =\frac{14}{11}$