 |
| Pembahasan Soal Matematika - Barisan Geometri |
Soal Latihan 1Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah $\frac{1}{4}$ dan rasionya adalah 2. Suku ke berapakah dari barisan tersebut yang nilainya 32 ?
Pembahasannya:
$a = \frac{1}{4}$
$r = 2$
$U_n = 32$
Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri :
$U_{n} =ar^{n-1}$
$32 = \frac{1}{4}\cdot 2^{n-1}$
$128 = 2^{n-1}$
$2^{7} = 2^{n-1}$
Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
n - 1 = 7 ⇔ n = 8
Jadi, suku yang nilainya 32 adalah suku ke-8.
Pembahasannya:
$U_1 = 3(2)^{3-1} = 12$
$U_2 = 3(2)^{3-2} = 6$
Suku pertamanya adalah
a = 12
Rasionya adalah
$r = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Pembahasannya:
Target kita adalah mengubah pangkat 3-n menjadi n-1, yang dapat kita lakukan dengan menggunakan sifat-sifat eksponen.
$U_n = 3 (2)^{3-n}$
$U_n = 3 (2-1)^{n-3}$
Soal Latihan 2Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan geometri dengan rumus $Un = 3(2)^{3-n}$
Pembahasannya:
$U_1 = 3(2)^{3-1} = 12$
$U_2 = 3(2)^{3-2} = 6$
Suku pertamanya adalah
a = 12
Rasionya adalah
$r = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Soal Latihan 3Nyatakan $U_n = 3(2)^{3-n}$ ke dalam bentuk $U_n = ar^{n-1}$ , kemudian tentukan a dan r.
Pembahasannya:
Target kita adalah mengubah pangkat 3-n menjadi n-1, yang dapat kita lakukan dengan menggunakan sifat-sifat eksponen.
$U_n = 3 (2)^{3-n}$
$U_n = 3 (2-1)^{n-3}$
$U_n = 3 (\frac{1}{2})^{n-3}$
$U_n = 3 (\frac{1}{2})^{n-1} . (\frac{1}{2})^{-2}$
$U_n = 3 (\frac{1}{2})^{n-1} . 4$
$U_n = 12 (\frac{1}{2})^{n-1}$ ⇔ $U_n = ar^{n-1}$
Dari persamaan terakhir jelas terlihat bahwa
a = 12 dan $r = \frac{1}{2}$
a = 12 dan $r = \frac{1}{2}$
Soal Latihan 4Suku kedua dan suku kelima dari suatu barisan geometri berturut-turut $\frac{1}{6}$ dan $\frac{1}{48}$. Tentukan suku ketujuh dari barisan tersebut!
Pembahasannya:
$U_2 = ar = \frac{1}{6}$
$U_5 = ar^4 = \frac{1}{48}$
Bagi kedua persamaan diatas
$ar^4 = \frac{1}{48}$
$ar = \frac{1}{6}$
$r^3 = \frac{1}{8} ⟶ r = \frac{1}{2}$
Suku ketujuh barisan tersebut adalah
$U7 = ar^6$
$U6 = ar^4 . r^2$
$U6 = \frac{1}{48} . (\frac{1}{2})^2$
$U6 = \frac{1}{48} . \frac{1}{4}$
$U6 = \frac{1}{192}$
Soal Latihan 5Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlah ketiga bilangan tersebut sama dengan 21 dan hasil kalinya 216, tentukan bilangan-bilangan tersebut
Pembahasannya:
Misalkan ketiga bilangan tersebut : a, b, c
Jumlah ketiga bilangan 21, akibatnya
$a + b + c = 21$
$a + c = 21 - b ....................................(1)$
Karena a, b, c membentuk barisan geometri, maka
$ac = b^2 ................................................(2)$
$ac = b^2 ................................................(2)$
Hasil kali ketiga bilangan 216, akibatnya
$abc = 216$
$b(ac) = 216$
$b(b^2) = 216$
$b^3 = 216$
$abc = 216$
$b(ac) = 216$
$b(b^2) = 216$
$b^3 = 216$
$b^3 = 6^3$
$b = 6$
$b = 6$
Substitusi b = 6 ke persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh
$a + c = 15 ....................................................(1^*)$
$a . c = 36 ....................................................(2^*)$
Perhatikan kedua persamaan diatas. Dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 36 dan dijumlahkan hasilnya 15 adalah 3 dan 12.
Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 3, 6 dan 12.
Pembahasannya:
Misalkan suku pertamanya adalah $U_1$, sehingga suku-suku barisan tersebut adalah
$U_1 , (x - 4) , (x + 2) , (x + 14) , ...$
Karena $(x - 4) , (x + 2) , (x + 14)$ merupakan barisan geometri, maka berlaku
$(x - 4)(x + 14) = (x + 2)^2$
$x^2 + 10x - 56 = x^2 + 4x + 4$
$6x = 60$
$x = 10$
Untuk x = 10, barisan tersebut menjadi
$U_1 , (x - 4) , (x + 2) , (x + 14) , ...$
$U_1 , (10 - 4) , (10 + 2) , (10 + 14) , ...$
$U_1 , 6 , 12 , 24$
Karena $U_1 , 6 , 12$ merupakan barisan geometri, maka berlaku
$U_1 . 12 = 62$ ⇔ $U_1 = 3$
Jadi, suku pertamanya adalah 3
Pembahasannya:
$U_1 = p^{-2}$
$U_2 = p^x$
$r=\frac{p^{x}}{p^{-2}}$
$r =p^{x+2}$
$U_{10} = ar^9$
$p^{34} = p^{-2} . (p^{(x+2 )9})$
$p^{34} = p^{-2} . (p^{(9x+18 )})$
$p^{34} =p^{(9x+18-2)}$
$p^{34} = p^{9x+16}$
$34=9x+16$
Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
9x + 16 = 34 ⇔ 9x = 18 ⇔ x = 2
Pembahasannya:
Karena a, b, c membentuk barisan geometri, maka
$ac = b^2$
Volume balok 216 $cm^3$ , akibatnya
$abc = 216 ........................................(1)$
$b . ac = 216$
$b . b^2 = 216$
$b^3 = 216$
$b = 6$
Dari persamaan $(1)$, diperoleh
$ac = \frac {216}{b} = \frac {216}{6} = 36 (*)$
$bc = \frac {216}{a}$
Luas balok 252 $cm^2$ , akibatnya
$2(ab + ac + bc) = 252$
$ab + ac + bc = 126$
$a(6) + 36 + \frac {216}{a} = 126$
$6a - 90 + \frac {216}{a} = 0$ kali kedua ruas dengan a
$6a^2 - 90a + 216 = 0$ bagi kedua ruas dengan 6
$a^2 - 15a + 36 = 0$
$(a - 3)(a - 12) = 0$
$a = 3 atau a = 12$
Karena barisan tersebut turun, haruslah a > b. Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 12.
Substitusikan a = 12 ke persamaan $ac = 36 (*)$, sehingga diperoleh c = 3.
Jadi, nilai a, b, c berturut-turut adalah
12 , 6 , 3
Pembahasannya:
Misalkan ketiga bilangan tersebut : $U_1, U_2, U_3$
$U_1 + U_2 + U_3 = 39$
$U_1 + U_3 = 39 - U_2 .................................(1)$
$U_1, U_2, U_3$ → barisan geometri
Sehingga berlaku
$U_1 . U_3 = (U_2)^2 ......................................(2)$
$U_1, (U_2 + 6) , U_3$ → barisan aritmatika
Sehingga berlaku
$2(U_2 + 6) = U_1 + U_3$
$2U_2 + 12 = 39 - U_2$
$3U_2 = 27$
$U_2 = 9$
Untuk $U_2 = 9$, persamaan $(1)$ dan $(2)$ menjadi
$U_1 + U_3 = 30 .........................................(1^*)$
$U_1 . U_3 = 81 .........................................(2^*)$
Dua bilangan yang jika dikalikan bernilai 81 dan dijumlahkan bernilai 30 adalah 3 dan 27. Karena barisan tersebut naik, haruslah $U_1 < U_3$. Sehingga $U_1= 3$ dan $U_3 = 27$
Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah
3 , 9 , 27
Pembahasannya:
Misalkan barisan aritmatika tersebut adalah
$1 , U_2 , U_3 , U_4 , U_5 , U_6 , ... , 5$
dengan $U_1 = 1$ dan $ U_n = 5$
$U_1 , U_4 , U_{10}$ membentuk barisan geometri, sehingga berlaku
$(U_4)^2 = U_1 . U_{10}$
$(U_4)^2 = (1) . U_{10}$
$U_4 = a + 3b = 1 + 3b$
$U_{10} = a + 9b = 1 + 9b$
Akibatnya, persamaan (*) menjadi
$(1 + 3b)^2 = 1 + 9b$
$9b^2 + 6b + 1 = 1 + 9b$
$9b^2 - 3b = 0$
$3b^2 - b = 0$
$b(3b - 1) = 0$
$b = 0$ atau $b = \frac{1}{3}$
Untuk b = 0, maka barisan tersebut akan menjadi barisan konstan, dimana semua sukunya bernilai 1. Jadi, nilai b yang memenuhi adalah $b = \frac{1}{3}$.
$U_n = a + (n - 1)b$
$5 = 1 + (n - 1)(\frac{1}{3})$
$4 = (n - 1) (\frac{1}{3})$
$12 = (n - 1)$
$n = 13$
Jadi, banyak bilangan yang disisipkan adalah
k = 13 - 2 = 11
Pembahasannya:
Misalkan kedua bilangan tersebut adalah x dan y, sehingga barisan yang terbentuk adalah
$2 , x , y , 12$
Tiga suku pertama, yaitu 2, x, y membentuk barisan geometri, sehingga berlaku
$2y = x^2 .................................................(1)$
Tiga suku terakhir, yaitu x , y , 12 membentuk barisan aritmatika, sehingga berlaku
$2y = x + 12 .........................................(2)$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh hubungan
$x^2 = x + 12$
$x^2 - x - 12 = 0$
$(x + 3)(x - 4) = 0$
x = -3 atau x = 4
Substitusi nilai x yang diperoleh ke salah satu persamaan diatas, sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut :
x = -3 → $ y = \frac{9}{2}$
x = 4 → y = 8
Karena salah satu dari kedua bilangan tersebut bernilai negatif, maka nilai x dan y yang memenuhi adalah x = -3 dan $ y = \frac{9}{2}$
Jadi, barisan yang yang terbentuk adalah
$2 , -3 , \frac{9}{2} , 12$
Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 3, 6 dan 12.
Soal Latihan 6Jika suku kedua, suku ketiga, dan suku keempat dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah $(x - 4), (x + 2), (x + 14)$, tentukan suku pertama dari barisan geometri tersebut!
Pembahasannya:
Misalkan suku pertamanya adalah $U_1$, sehingga suku-suku barisan tersebut adalah
$U_1 , (x - 4) , (x + 2) , (x + 14) , ...$
Karena $(x - 4) , (x + 2) , (x + 14)$ merupakan barisan geometri, maka berlaku
$(x - 4)(x + 14) = (x + 2)^2$
$x^2 + 10x - 56 = x^2 + 4x + 4$
$6x = 60$
$x = 10$
Untuk x = 10, barisan tersebut menjadi
$U_1 , (x - 4) , (x + 2) , (x + 14) , ...$
$U_1 , (10 - 4) , (10 + 2) , (10 + 14) , ...$
$U_1 , 6 , 12 , 24$
Karena $U_1 , 6 , 12$ merupakan barisan geometri, maka berlaku
$U_1 . 12 = 62$ ⇔ $U_1 = 3$
Jadi, suku pertamanya adalah 3
Soal Latihan 7Suku pertama dan suku kedua dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah $p^{-2}$ dan px , dengan p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1. Jika suku kesepuluhnya adalah $p^{34}$ , tentukan nilai x.
Pembahasannya:
$U_1 = p^{-2}$
$U_2 = p^x$
$r=\frac{p^{x}}{p^{-2}}$
$r =p^{x+2}$
$U_{10} = ar^9$
$p^{34} = p^{-2} . (p^{(x+2 )9})$
$p^{34} = p^{-2} . (p^{(9x+18 )})$
$p^{34} =p^{(9x+18-2)}$
$p^{34} = p^{9x+16}$
$34=9x+16$
Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
9x + 16 = 34 ⇔ 9x = 18 ⇔ x = 2
Soal Latihan 8Sebuah balok berdimensi a × b × c mempunyai volume 216 cm3 dan luas permukaan $252 cm^2$ . Jika a, b, c membentuk barisan geometri turun, tentukan nilai a, b dan c tersebut!
Pembahasannya:
Karena a, b, c membentuk barisan geometri, maka
$ac = b^2$
Volume balok 216 $cm^3$ , akibatnya
$abc = 216 ........................................(1)$
$b . ac = 216$
$b . b^2 = 216$
$b^3 = 216$
$b = 6$
Dari persamaan $(1)$, diperoleh
$ac = \frac {216}{b} = \frac {216}{6} = 36 (*)$
$bc = \frac {216}{a}$
Luas balok 252 $cm^2$ , akibatnya
$2(ab + ac + bc) = 252$
$ab + ac + bc = 126$
$a(6) + 36 + \frac {216}{a} = 126$
$6a - 90 + \frac {216}{a} = 0$ kali kedua ruas dengan a
$6a^2 - 90a + 216 = 0$ bagi kedua ruas dengan 6
$a^2 - 15a + 36 = 0$
$(a - 3)(a - 12) = 0$
$a = 3 atau a = 12$
Karena barisan tersebut turun, haruslah a > b. Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 12.
Substitusikan a = 12 ke persamaan $ac = 36 (*)$, sehingga diperoleh c = 3.
Jadi, nilai a, b, c berturut-turut adalah
12 , 6 , 3
Soal Latihan 9Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri naik dengan jumlah 39. Jika suku tengahnya ditambah 6, terbentuklah barisan aritmatika. Tentukan ketiga bilangan tersebut!
Pembahasannya:
Misalkan ketiga bilangan tersebut : $U_1, U_2, U_3$
$U_1 + U_2 + U_3 = 39$
$U_1 + U_3 = 39 - U_2 .................................(1)$
$U_1, U_2, U_3$ → barisan geometri
Sehingga berlaku
$U_1 . U_3 = (U_2)^2 ......................................(2)$
$U_1, (U_2 + 6) , U_3$ → barisan aritmatika
Sehingga berlaku
$2(U_2 + 6) = U_1 + U_3$
$2U_2 + 12 = 39 - U_2$
$3U_2 = 27$
$U_2 = 9$
Untuk $U_2 = 9$, persamaan $(1)$ dan $(2)$ menjadi
$U_1 + U_3 = 30 .........................................(1^*)$
$U_1 . U_3 = 81 .........................................(2^*)$
Dua bilangan yang jika dikalikan bernilai 81 dan dijumlahkan bernilai 30 adalah 3 dan 27. Karena barisan tersebut naik, haruslah $U_1 < U_3$. Sehingga $U_1= 3$ dan $U_3 = 27$
Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah
3 , 9 , 27
Soal Latihan 10Diantara bilangan 1 dan 5 disisipkan k bilangan sedemikian sehingga terbentuk suatu barisan aritmatika. Jika $U_1 , U_4 , U_{10}$ , dari barisan tersebut membentuk barisan geometri, tentukan k!
Pembahasannya:
Misalkan barisan aritmatika tersebut adalah
$1 , U_2 , U_3 , U_4 , U_5 , U_6 , ... , 5$
dengan $U_1 = 1$ dan $ U_n = 5$
$U_1 , U_4 , U_{10}$ membentuk barisan geometri, sehingga berlaku
$(U_4)^2 = U_1 . U_{10}$
$(U_4)^2 = (1) . U_{10}$
$(U_4)^2 = U_{10} ....................................... (*)$
$U_4 = a + 3b = 1 + 3b$
$U_{10} = a + 9b = 1 + 9b$
Akibatnya, persamaan (*) menjadi
$(1 + 3b)^2 = 1 + 9b$
$9b^2 + 6b + 1 = 1 + 9b$
$9b^2 - 3b = 0$
$3b^2 - b = 0$
$b(3b - 1) = 0$
$b = 0$ atau $b = \frac{1}{3}$
Untuk b = 0, maka barisan tersebut akan menjadi barisan konstan, dimana semua sukunya bernilai 1. Jadi, nilai b yang memenuhi adalah $b = \frac{1}{3}$.
$U_n = a + (n - 1)b$
$5 = 1 + (n - 1)(\frac{1}{3})$
$4 = (n - 1) (\frac{1}{3})$
$12 = (n - 1)$
$n = 13$
Jadi, banyak bilangan yang disisipkan adalah
k = 13 - 2 = 11
Soal Latihan 11
Diantara bilangan 2 dan 12 disisipkan 2 bilangan sedemikian sehingga tiga suku pertama dari barisan yang terjadi membentuk barisan geometri, sedangkan tiga suku terakhir membentuk barisan aritmatika. Jika salah satu dari kedua bilangan yang disisipkan bernilai negatif, tentukan kedua bilangan tersebut, lalu tuliskan keempat suku barisan yang terbentuk.
Pembahasannya:
Misalkan kedua bilangan tersebut adalah x dan y, sehingga barisan yang terbentuk adalah
$2 , x , y , 12$
Tiga suku pertama, yaitu 2, x, y membentuk barisan geometri, sehingga berlaku
$2y = x^2 .................................................(1)$
Tiga suku terakhir, yaitu x , y , 12 membentuk barisan aritmatika, sehingga berlaku
$2y = x + 12 .........................................(2)$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh hubungan
$x^2 = x + 12$
$x^2 - x - 12 = 0$
$(x + 3)(x - 4) = 0$
x = -3 atau x = 4
Substitusi nilai x yang diperoleh ke salah satu persamaan diatas, sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut :
x = -3 → $ y = \frac{9}{2}$
x = 4 → y = 8
Karena salah satu dari kedua bilangan tersebut bernilai negatif, maka nilai x dan y yang memenuhi adalah x = -3 dan $ y = \frac{9}{2}$
Jadi, barisan yang yang terbentuk adalah
$2 , -3 , \frac{9}{2} , 12$
