 |
| Matematika : Rumus Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmatika |
Seperti yang kita tahu, setiap suku pada barisan aritmatika [kecuali suku pertama] merupakan hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Oleh karenanya, deret aritmatika dapat kita nyatakan dalam persamaan berikut
$Sn = U_1 + (U_1 + b) + (U_1 + 2b) + ... + U_n$Jika suku-suku pada ruas kanan diurutkan dari suku ke-n sampai suku ke-1, kita peroleh
$S_n = U_n + (U_n - b) + (U_n - 2b) + ... + U_1$Apabila kedua persamaan diatas kita jumlahkan, maka akan diperoleh
$S_n = U_1 + (U_1 + b) + (U_1 + 2b) + ... + U_n$
$S_n = U_n + (U_n - b) + (U_n - 2b) + ... + U_1 +$
$2S_n = (U_1+U_n) + (U_1+U_n) + (U_1+U_n) + ... + (U_1+U_n)$
Perhatikan bahwa ruas kanan merupakan penjumlahan $(U_1 + U_n)$ sebanyak n, dapat kita tulis :
$2S_n = n(U_1 + U_n)$ ↔ $S_n = \frac{n}{2}(U_1 + U_n)$
Karena $U_1 = a\; dan\; U_n = a + (n - 1)b$, diperoleh
$S_n =\frac{n}{2}(2a + (n - 1)b)$Persamaan terakhir diatas sering disebut dengan rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika, yaitu :
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$atau$S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})$
Contoh Soal 1Tentukan jumlah 20 suku pertama barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, ...
Pemabahasannya :
Diketahui : a = 3 dan b = 2
Jumlah 20 suku pertamanya adalah
$S_{20} = \frac{20}{2}(2a + (20 - 1)b)$
$S_{20} = 10 (2a + 19b)$
$S_{20 }= 10 (2(3) + 19(2))$
$S_{20} = 10 (6 + 38)$
$S_{20} = 440$
Contoh Soal 2Hitung deret aritmatika berikut!
-2 + 1 + 4 + 7 + ... + 28
Pemabahasannya :
Diketahui : a = -2, b = 3 dan $U_n = 28$
$U_n = a + (n-1)b$
$28 = -2 + (n -1)3$
$28 = -2 + 3n- 3$
$33 = 3n$
$n = 11$
Jadi, jumlah dari deret aritmatika diatas adalah
$S_{11} = \frac{11}{2}(a + U_{11})$
$S_{11} = \frac{11}{2}(-2 + 28)$
$S_{11} = \frac{11}{2}(26)$
$S_{11} = 143$
Untuk melengkapi pemahaman kita tentang Deret aritmatika admin Kelas MIPA sudah menyediakan contoh soal dan pembahasannya secara lengkap pada postingan berikut ini dan disajikan pada link berikut ini
