 |
| Pembahasan Soal Matematika - Barisan Aritmatika [versi 1] |
Soal Latihan Barisan Aritmatika beserta Pembahasan
Soal Latihan 1
Jumlah suku ke-3 dan suku ke-13 dari suatu barisan aritmatika adalah 30. Suku keberapakah dari barisan tersebut yang nilainya 15 ?
Pembahasannya
Jumlah suku ke-3 dan suku ke-13 adalah 30.
$U_3 + U_{13} = 30$
$(a + 2b) + (a + 12b) = 30$
$2a + 14b = 30$
$a + 7b = 15$
Karena $a + 7b = U_8$ , maka $U_8 = 15.$
Jadi, suku yang nilainya 15 adalah suku ke-8.
Soal Latihan 2
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-5 suatu barisan aritmatika adalah 17, sedangkan jumlah suku ke-4 dengan suku ke-6 adalah 32. Tentukan jumlah suku ke-8 dengan suku ke-10 dari barisan tersebut!
Pembahasannya
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-5 adalah 17.
$U_2 + U_5 = 17$
$(a + b) + (a + 4b) = 17$
$2a + 5b = 17 .............................(1)$
Jumlah suku ke-4 dengan suku ke-6 adalah 32.
$U_4 + U_6 = 32$
$(a + 3b) + (a + 5b) = 32$
$2a + 8b = 32 .............................(2)$
Eliminasi $(1)$ dan $(2)$ diperoleh
a = -4 dan b = 5
Jumlah suku ke-8 dengan suku ke-10 adalah
$U_8 + U_{10} = (a + 7b) + (a + 9b)$
$U_8 + U_{10} = 2a + 16b$
$U_8 + U_{10} = 2(-4) + 16(5)$
$U_8 + U_{10} = 72$
Soal Latihan 3
Tepat tanggal 1 januari 2018, jumlah tabungan Andi sebesar Rp25.000,00 sedangkan jumlah tabungan Budi sebesar Rp15.000,00. Jika setiap harinya Andi menabung sebesar Rp1.000,00 dan Budi menabung sebesar Rp3.000,00, tanggal berapakah jumlah tabungan mereka menjadi sama besar?
Pembahasannya :
Untuk tabungan Andi :
a = 25000 dan b = 1000
$U_n = a + (n - 1)b$
$U_n = 25000 + (n - 1)(1000)$
$U_n = 25000 + 1000n - 1000$
$U_n = 1000n + 24000 ......................(1)$
Untuk tabungan Budi :
a = 15000 dan b = 3000
$U_n = a + (n - 1)b$
$U_n = 15000 + (n - 1)(3000)$
$U_n = 15000 + 3000n - 3000$
$U_n = 3000n + 12000 ......................(2)$
Dari $(1)$ dan $(2)$ diperoleh hubungan
$3000n + 12000 = 1000n + 24000$
$2000n = 12000$
$n = 6$
Jadi, jumlah tabungan mereka akan menjadi sama besar pada tanggal 6 Januari 2018.
Soal Latihan 4
Tentukan banyaknya bilangan asli 2 angka yang berkelipatan 3 dan habis dibagi 4.
Pembahasannya :
Bilangan-bilangan asli yang berkelipatan m dan habis dibagi n akan membentuk barisan aritmatika dengan bedanya merupakan KPK dari m dan n.
Jadi, bilangan asli dua angka yang berkelipatan 3 dan habis dibagi 4 akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 12, yaitu: 12, 24, 36, ... , 96
Dengan banyaknya bilangan :
$Un = a + (n - 1)b$
$96 = 12 + (n - 1)12$
$96 = 12 + 6n - 6$
$6n = 90$
$n = 15$
Soal Latihan 5
Tentukan banyaknya bilangan asli kelipatan 5 yang tidak habis dibagi 3, diantara 99 dan 999 !
Pembahasannya :
Bilangan asli kelipatan 5 diantara 99 dan 999, yaitu : 100, 105, 110, ... , 995.
Dengan banyaknya bilangan :
$U_n = a + (n - 1)b$
$995 = 100 + (n - 1)5$
$995 = 100 + 5n - 5$
$5n = 900$
$n = 180$
Bilangan asli kelipatan 5 yang habis dibagi 3 diantara 99 dan 999 akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 15, yaitu :
105, 120, 135, ... , 990.
Dengan banyaknya bilangan :
$U_n = a + (n - 1)b$
$990 = 105 + (n - 1)(15)$
$990 = 105 + 15n - 15$
$15n = 900$
$n = 60$
Jadi, banyaknya bilangan asli kelipatan 5 yang tidak habis dibagi 3 diantara 99 dan 999 adalah
180 - 60 = 120.
Soal Latihan 6
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika, dengan jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 9. Jika jumlah kuadrat ketiga bilangan tersebut sama dengan 77, maka hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah...
Pembahasannya :
Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah x, y, z.
$x + y + z = 9$ ↔ $x + z = 9 - y ...........(1)$
$x^2 + y^2 + z^2 = 77 ....................................(2)$
Karena x, y, z barisan aritmatika, maka berlaku
$2y = x + z ................................................(3)$
Dari persamaan $(1)$ dan $(3)$ diperoleh
$2y = 9 - y$
$3y = 9$
$y = 3$
Untuk$y = 3$, persamaan $(1)$ menjadi
$x + z = 6$
Untuk $y = 3$, persamaan $(2)$ menjadi
$x^2 + z^2 = 68$
Karena $x^2 + z^2 = (x + z)^2 - 2xz$, maka
$(x + z)^2 - 2xz = 68$
$(6)^2 - 2xz = 68$
$2xz = -32$
$xz = -16$
Jadi, hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah
$(xz)y = (-16)3 = -48$
Soal Latihan 7
Diketahui keliling sebuah segitiga adalah 20 cm. Apabila sisi terpendek ditambah 1, ketiga sisinya membentuk barisan aritmatika. Jika sudut di depan sisi terpendek dan sudut di depan sisi terpanjang jumlahnya 120°, maka luas segitiga tersebut adalah ...
Pembahasannya :
Misalkan sisi sisi segitiga tersebut adalah a, b, c, dengan a sisi terpendek dan c sisi terpanjang.
$a + b + c = 20$ ↔ $a + c = 20 - b ................(1)$
$(a + 1), b, c$ membentuk aritmatika, sehingga
$2b = (a + 1) + c$ ↔ $2b - 1 = a + c ...............(2)$
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh
$2b - 1 = 20 - b$
$3b = 21$
$b = 7$
Untuk b = 7 persamaan $(1)$ menjadi
$a + c = 13$
Sudut di depan sisi terpendek dan sudut di depan sisi terpanjang jumlahnya 120°, akibatnya sudut di depan sisi b adalah 60°. Perhatikan gambar!
Dengan aturan cosinus, maka
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos$ 60°
$b^2 = (a + c)^2 - 2ac - 2ac (1/2)$
$b^2 = (a + c)^2 - 3ac$
$72 = (13)^2 - 3ac$
$3ac = 120$
$ac = 40$
Berdasarkan rumus luas segitiga :
$L = 1/2(ac) sin$ 60°
$L = 1/2(40) 1/2 √3$
$L = 10√3$
Demikiann Pembahasan Soal Matematika - Barisan Aritmatika kali ini, dan admin Kelas MIPA mohon maaf jika ada kekeliruan angka atau huruf pada postingan kali ini, mohon dikonfirmasi pada kolom komentar ni..
