 |
| Pembahasan Soal Matematika - Sifat-sifat Barisan Artmatika |
Contoh soal 1
Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = 5 - 2n. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut!
Pembahasannya;
Diketahui Un = 5 - 2n
Berdasarkan sifat diatas, maka
a = -2 + 5 = 3
b = -2
Jadi, suku pertamanya 3 dan beda -2.
Jika Um dan Un adalah suku-suku suatu barisan aritmatika, maka untuk m ≠ n berlaku :
$\b=\frac{U_{m}-U_{n}}{m-n}$
$U_{m}=U_{n}+(m-n)b$
$U_{m}=U_{n}+(m-n)b$
Simak uraian berikut!
Karena Um dan Un adalah suku-suku barisan aritmatika, maka
$U_m = a + (m- 1)b ...............(1)$
$U_n = a + (n -1)b .................(2)$
Jika kita kurangkan persamaan $(1)$ dengan persamaan $(2)$ akan diperoleh
$U_m - U_n = (m - n)b$ atau
$U_m = U_n + (m - n)b$ atau
$b = (U_m-U_n) / (m - n)$
Contoh soal 2
Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-3 dan suku ke-6 berturut-turut adalah 9 dan 21. Tentukan beda dan suku ke-18 barisan tersebut!
Pembahasannya;
Diketahui $U_3$ = 9 dan $U_6$ = 21
Berdasarkan sifat diatas, maka
$b=\frac{U_{6}-U_{3}}{6-3}=\frac{21-9}{6-3}=4$
$U_{18} = U3 + (18 - 3)4$
$U_{18} = 9 + (15)4$
$U_{18} = 69$
$U_{18} = 9 + (15)4$
$U_{18} = 69$
Jadi, suku ke-18 barisan tersebut adalah 69 dengan beda 4.
Jika tiga buah bilangan x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka berlaku $(2y = x + z)$
Perhatikan penjelasan berikut!
Karena x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka selisih tiap suku berurutannya akan selalu sama. Sehingga, y - x = z - y atau 2y = x + z.
Contoh soal 3
Diketahui tiga suku pertama barisan aritmatika adalah $(x - 1),\; (2x + 1),\; dan\; (x^2 + 5)$. Tentukan nilai x yang memenuhi!
Pembahasannya;
Diketahui barisan aritmatika
$(x - 1),\; (2x + 1),\; (x^2 + 5)$
Berdasarkan sifat diatas, maka
$2(2x + 1) = (x - 1) + (x2 + 5)$
$4x + 2 = x^2 + x + 4$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$(x - 1)(x - 2) = 0$
$x = 1\; atau\; x = 2$
$4x + 2 = x^2 + x + 4$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$(x - 1)(x - 2) = 0$
$x = 1\; atau\; x = 2$
Bilangan asli berurutan diantara x dan y akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 1 dan banyaknya bilangan tersebut adalah y - x - 1.
Misalkan x dan y bilangan asli, dengan x < y.
Bilangan asli diantara x dan y, yaitu :
x + 1 , x + 2 , x + 3 , ... , y - 1
dimana : a = x + 1 , b = 1 dan Un = y - 1.
Berdasarkan rumus suku ke-n :
$U_n = a + (n - 1)b$
$y - 1 = x + 1 + (n - 1)(1)$
y - 1 = x + n
n = y - x - 1
Sebagai contoh, banyaknya bilangan asli diantara 10 dan 20 adalah 20 - 10 - 1 = 9.
Bilangan asli berurutan yang habis dibagi k / kelipatan k, akan membentuk barisan aritmatika dengan beda k.
Contoh soal 4
Tentukan banyaknya bilangan asli diantara 100 dan 300, dengan syarat bilangan tersebut :
habis dibagi 3
tidak habis dibagi 3
Pembahasannya;
Banyak bilangan asli diantara 100 dan 300 adalah
300 - 100 - 1 = 199
Bilangan asli diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 3, yaitu : 102, 105, 107, ... , 297 dengan banyaknya bilangan $(n)$ :
$U_n = a + (n - 1)b$
$297 = 102 + (n - 1)3$
297 = 102 + 3n - 3
3n = 198
n = 66
$297 = 102 + (n - 1)3$
297 = 102 + 3n - 3
3n = 198
n = 66
Banyak bilangan asli diantara 100 dan 300 yang tidak habis dibagi 3 adalah 199 - 66 = 133
