Pembahasan Soal Matematika - Deret Aritmatika

Pembahasan Soal Matematika - Deret Aritmatika

Soal Latihan Deret Aritmatika dan Pembahasan

Soal Latihan 1

Suku pertama dan suku terakhir suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 5 dan 50. Jika jumlah semua suku barisan tersebut adalah 440, tentukan banyaknya suku barisan tersebut!

Pembahasannya :

$a = 5,\;  U_n = 50,\;  S_n = 440,\;  n = ...$

$S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$

$440 = \frac{n}{2}(5 + 50)$

$2 \times 440 = n(55)$

$880 = 55n$

$n = 16$

Jadi, banyaknya suku barisan tersebut adalah 16.

Soal Latihan 2

Jumlah suku ketiga dan suku kesepuluh dari suatu barisan aritmatika adalah 30, sedangkan suku kesembilannya adalah 20. Tentukan jumlah 7 suku pertamanya!

Pembahasannya :

$U_3 + U_{10} = 30$

$(a + 2b) + (a + 9b) = 30$

$2a + 11b = 30 ....................................(1)$

$U_9 = 20$

$a + 8b = 20 ........................................(2)$

Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh

a = 4 dan b = 2

Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah

$S_7 = \frac{7}{2} (2a + (7 - 1)b)$

$S_7 = \frac{7}{2} (2(4) + 6(2))$

$S_7 = 70$

Soal Latihan 3

Lima buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan jumlah 75. Jika bilangan ketiga dikurang bilangan pertama sama dengan 12, tentukan bilangan kelima!

Pembahasannya :

Misalkan kelima bilangan tersebut adalah

$U_1 , U_2 , U_3 , U_4 , U_5$

$U_3 - U_1 = 12$

$(a + 2b) - a = 12$

$2b = 12$

$b = 6$

$S_5 = 75$

$\frac{5}{2} (2a + 4b) = 75$

$\frac{5}{2} (2a + 4(6)) = 75$

$\frac{5}{2} (2a + 24) = 75$

$5a + 60 = 75$

$5a = 15$

$a = 3$

$U_5 = a + 4b$

$U_5 = 3 + 4(6)$

$U_5 = 27$

Jadi, bilangan kelima adalah 27

Soal Latihan 4

Suku keempat dari deret aritmatika adalah 7, sedangkan jumlah dari 6 suku pertama sama dengan 36. Tentukan jumlah dari 10 buah suku pertama

Pembahasannya :

$U4 = 7$

$a + 3b = 7 ....................................................(1)$

$S_6 = 36$

$\frac{6}{2} (2a + 5b) = 36$

$2a + 5b = 12 ................................................(2)$

Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh

a = 1 dan b = 2

$S_{10} =\frac{10}{2} (2a + 9b)$

$S_{10} = 5 (2(1) + 9(2))$

$S_{10} = 100$

Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah 100

Soal Latihan 5

Diketahui deret aritmatika dengan suku pertamanya 5. Jika $U_{11} - U_6 = 10$, hitunglah $S_5$

Pembahasannya :

$a = 5$

$U_{11) - U_6 = 10$

$(a + 10b) - (a + 5b) = 10$

$5b = 10$

$b = 2$

$S_5 = \frac{5}{2} (2a + 4b)$

$S_5 =\frac{5}{2} (2(5) + 4(2))$

$S_5 = 45$

Soal Latihan 6

Tentukan banyaknya bilangan pada deret aritmatika berikut agar jumlahnya = 63

15 + 13 + 11 + 9 + ...

Pembahasannya ::

Diketahui : a = 15 dan b = -2

$S_n = 63$

$\frac{n}{2} (2a + (n - 1)b) = 63$

$\frac{n}{2} (2(15) + (n - 1)(-2)) = 63$

$\frac{n}{2} (32 - 2n) = 63$

$16n - n^2 = 63$

$n^2 - 16n + 63 = 0$

$(n - 7)(n - 9) = 0$

n = 7 atau n = 9

Jadi, banyaknya bilangan agar jumlah deret tersebut sama dengan 63 adalah 7 atau 9 bilangan.

Soal Latihan 7

Tentukan jumlah semua bilangan asli diantara 1 sampai 100, dimana bilangan tersebut

a. Habis dibagi 2

b. Habis dibagi 2 dan habis dibagi 3

c. Habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 3

Pembahasannya :

$(a)$ Habis dibagi 2, yaitu :

2, 4, 6, 8, 10, ... , 98

Banyaknya bilangan :

$U_n = a + (n - 1)b$

$98 = 2 + (n - 1)2$

$98 = 2n$

$n = 49$

Jumlah ke-49 bilangan tersebut :

$S_{49} =\frac{49}{2} (2a + 48b)$

$S_{49} = \frac{49}{2} (2(2) + 48(2))$

$S_{49} = \frac{49}{2} (100)$

$S_{49} = 2450$

$(b)$ Habis dibagi 2 dan habis dibagi 3, yaitu :

6, 12, 18, 24, ... , 96

Banyaknya bilangan :

$U_n = a + (n - 1)b$

$96 = 6 + (n - 1)6$

$96 = 6n$

$n = 16$

Jumlah ke-16 bilangan tersebut :

$S_{16} = \frac{16}{2} (2a + 15b)$

$S_{16} = 8 (2(6) + 15(6))$

$S_{16} = 8 (102)$

$S_{16} = 816$

$(c)$ Jumlah semua bilangan asli diantara 1 - 100 yang habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 3 yaitu : 2450 - 816 = 1634

Soal Latihan 8

Diantara bilangan 6 dan 78 disisipkan 7 bilangan sedemikian sehingga terbentuk sebuah deret aritmatika. Tentukan beda dan jumlah dari deret aritmatika yang terbentuk

Pembahasannya :

Beda yang terbentuk :

$b =\frac{78-6}{7+1}= 9$

Banyaknya bilangan setelah disisipkan :

n = 7 + 2 = 9

Jumlah ke-9 bilangan tersebut adalah

$S_9 = \frac{9}{2} (2a + 8b)$

$S_9 =\frac{9}{2} (2(6) + 8(9))$

$S_9 = \frac{9}{2} (84)$

$S_9 = 378$

atau

$S_9 =\frac{9}{2} (a + U9)$

$S_9 = \frac{9}{2} (6 + 78)$

$S_9 = \frac{9}{2} (84)$

$S_9 = 378$

Soal Latihan 9

Sebuah tali dipotong menjadi 12 bagian yang panjang masing-masing membentuk deret aritmatika. Apabila potongan terpendek 4 cm dan potongan terpanjang 59 cm, hitunglah panjang tali semula!

Pembahasannya :

Diketahui :

n = 12

a = 4

$U_{12} = 59$

Panjang tali semula adalah

$S_{12} =\frac{12}{2} (a + U_{12})$

$S_{12} = 6 (4 + 59)$

$S_{12} = 315$

Jadi, panjang tali semula adalah 315 cm.

Soal Latihan 10

Diketahui 1 + 5 + 9 + ... + x = 276. Jika ruas kiri persamaan tersebut merepresentasikan deret aritmatika, maka nilai x adalah ...

Pembahasannya :

Diketahui : $a = 1,\;  b = 4,\;  U_n = x,\;  S_n = 276$

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)b)$

$276 =\frac{n}{2}(2(1) + (n - 1)4)$

$276 = \frac{n}{2}(4n - 2 )$

$276 = n(2n - 1)$

$2n^2 - n - 276 = 0$

$(2n + 23)(n - 12) = 0$

$n = -\frac{23}{2}\; atau\;  n = 12$

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan aritmatika

$U_n = a + (n - 1)b$

$x = 1 + (12 - 1)4$

$x = 1 + 44$

$x = 45$

Soal Latihan 11

Banyak suku suatu barisan aritmatika adalah 21. Jumlah 3 buah suku yang berada ditengah adalah 75, sedangkan jumlah 3 suku terakhir adalah 129. Tentukan jumlah semua suku barisan aritmatika tersebut!

Pembahasannya :

Misalkan barisan aritmatika tersebut adalah

$U_1, U_2, U_3, U_4, ... , U_{21}$

Suku tengahnya adalah suku ke $\frac{21+1}{2}= 11$

Jadi, 3 suku ditengah adalah $U_{10}, U_{11}, U_{12}$

Jumlah 3 suku yang berada ditengah adalah 75.

$U_{10} + U_{11} + U_{12} = 75$

$(a + 9b) + (a + 10b) + (a + 11b) = 75$

$3a + 30b = 75$

$a + 10b = 25 ..........................................(1)$

Jumlah 3 suku terakhir adalah 129.

$U_{19} + U_{20} + U_{21} = 129$

$(a + 18b) + (a + 19b) + (a + 20b) = 129$

$3a + 57b = 129$

$a + 19b = 43 ..........................................(2)$

Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh

a = 5 dan b = 2

Jumlah semua suku barisan tersebut adalah

$S_{21} = \frac{21}{2} (2a + 20b)$

$S_{21} = \frac{21}{2} (2(5) + 20(2))$

$S_{21} = \frac{21}{2}(50)$

$S_{21} = 525$

Soal Latihan 12

Lima buah bilangan membentuk barisan aritmatika turun, dengan bilangan ketiga sama dengan 9. Jika jumlah kelima bilangan tersebut sama dengan hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kelima, maka selisih bilangan kedua dengan bilangan keempat adalah...

Pembahasannya :

Misalkan kelima bilangan tersebut adalah

$U_1, U_2, U_3, U_4, U_5$

Berdasarkan rumus suku tengah :

$2U_3 = U_1 + U_5$

$2(9) = U_1 + U_5$

$U_1 + U_5 = 18 ..................................(1)$

Jumlah kelima bilangan tersebut sama dengan hasil kali bilangan pertama dengan bilangan kelima, dapat ditulis :

$S_5 = U_1 . U_5$

$(\frac{5}{2})(U_1 + U_5) = U_1 . U_5$

$(\frac{5}{2})(18) = U1_ . U_5$

$U_1 . U_5 = 45 ....................................(2)$

Perhatikan persamaan $(1)$ dan $(2)$. Dua buah bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya 18 dan jika dikalikan hasilnya 45 adalah 3 dan 15. Karena barisan aritmatika tersebut turun, maka $U_1 > U_5$.

Jadi, $U_1 = 15$  dan $U_5 = 3$

Hasil sementara bilangan-bilangan tersebut :

$15, U_2, 9, U_4, 3$

Berdasarkan rumus suku tengah, maka

$U_2 =  \frac{15+9}{2}  = 12$

$U_4 =  \frac{9+3}{2}= 6$

Jadi, selisih suku kedua dengan suku keempat :

$U_2 - U_4 = 12 - 6 = 6$