Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk materi pembahasan Persamaan Garis Singgung Kurva.
1. UN 2006Persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt[3]{5+x}$ di titik dengan absis 3 adalah...
A. x − 12y + 21 = 0
B. x − 12y +23 = 0
C. x − 12y + 27 = 0
D. x − 12y + 34 = 0
E. x − 12y + 27 = 0
Pembahasan :
$y = (5 + x)^{\frac{1}{3}}$
Untuk absis 3 → $y = y = (5 + x)^{\frac{1}{3}}= 2$
Diperoleh titik singgung : $(3, 2)$
$f(x) = y = (5 + x)^{\frac{1}{3}}$ → f'(x) = \$\frac{1}{3(5+x)^{\frac{2}{3}}}$
m = f'(3) = $\frac{1}{3(5+3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{12}$
Persamaan garis singgung di titik $(3, 2)$ dengan gradien m = $\frac{1}{12}$ adalah
$y - 2 = (\frac{1}{12})(x- 3)$
$12(y -2) = x -3$
12y − 24 = x − 3
x − 12y + 21 = 0
Jawaban : A
2. UN 2009Garis singgung di titik $(2, p)$ pada kurva $y=2\sqrt{x+2}$ memotong sumbu x di titik...
A. $(-10, 0)
B. $(-6, 0)
C. $(-2, 0)
D. $(2, 0)
E. 6, 0)
Pembahasan :
$y = 2(x + 2)^{\frac{1}{2}}$
Untuk x = 2 →$ y = 2(2 + 2)^{\frac{1}{2}} = 4$
Diperoleh titik singgung : $(2, 4)$
$f(x) = 2(x + 2)^{\frac{1}{2}} \rightarrow f'(x) = \frac{1}{(x+2)^{\frac{1}{2}}}$
$m = f'(2) =\frac{1}{(2+2)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}$
Persamaan garis singgung di titik $(2, 4)$ dengan gradien $m = \frac{1}{2}$ adalah
$y -4 = \frac{1}{2}(x-2)$
Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
$0-4 = \frac{1}{2}(x -2)$
−8 = x − 2
x = −6
Diperoleh titik potong sumbu-x : $(-6, 0)$
Jawaban : C
A. $(4, 0)$
B. (-4, 0)$
C. $(12, 0)$
D. $(-6, 0)$
E. $(6, 0)$
Pembahasan :
$y = 6x^{\frac{1}{2}}$
Untuk absis 4 → $y = 6.4^{\frac{1}{2}}=12$
Diperoleh titik singgung : $(4, 12)$
$f(x) = 6x^{\frac{1}{2}} \rightarrow f'(x) = \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$
Persamaan garis singgung di titik $(4, 12)$ dengan gradien $m = \frac{3}{2}$ adalah
y − 12 = $\frac{3}{2}(x - 4)$
Persamaan garis singgung di titik $(2, 4)$ dengan gradien $m = \frac{1}{2}$ adalah
$y -4 = \frac{1}{2}(x-2)$
Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
$0-4 = \frac{1}{2}(x -2)$
−8 = x − 2
x = −6
Diperoleh titik potong sumbu-x : $(-6, 0)$
Jawaban : C
3. UN 2009Garis l menyinggung kurva $y=6\sqrt{x}$ di titik yang berabsis 4. Titik potong garis l dengan sumbu x adalah...
A. $(4, 0)$
B. (-4, 0)$
C. $(12, 0)$
D. $(-6, 0)$
E. $(6, 0)$
Pembahasan :
$y = 6x^{\frac{1}{2}}$
Untuk absis 4 → $y = 6.4^{\frac{1}{2}}=12$
Diperoleh titik singgung : $(4, 12)$
$f(x) = 6x^{\frac{1}{2}} \rightarrow f'(x) = \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$
$m = f'(4) = \frac{3}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2}$
Persamaan garis singgung di titik $(4, 12)$ dengan gradien $m = \frac{3}{2}$ adalah
y − 12 = $\frac{3}{2}(x - 4)$
Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
0 − 12 = $\frac{3}{2}(x - 4)$
−24 = 3x − 12
−12 = 3x
x = −4
Diperoleh titik potong sumbu-x : $(-4, 0)$
Jawaban : B
A. $(0, -4)$
B. (0, -\frac{1}{2})
C. (0, \frac{9}{2})
D. (0, \frac{15}{2})
E. (0, 8)
Pembahasan :
Titik singgung : \$\left (-1,\frac{9}{2} \right )$
$f(x) = \frac{1}{2}x^2-4x-1 \rightarrow f'(x) = x + \frac{4}{x^{2}}$
Persamaan garis singgung di titik $\left ( -1,\frac{9}{2} \right )$ dengan gradien m = 3 adalah
$y - \frac{9}{2}= 3(x- (-1))$
$y = 3(x + 1) +\frac{9}{2}$
Titik potong sumbu-y ⇒ x = 0
$y = 3(0 + 1) + \frac{9}{2}$
$y = \frac{15}{2}$
Diperoleh titik potong sumbu-y : $(0, \frac{15}{2})$
Jawaban : D
A. $(-3, 0)$
B. $(-2, 0)$
C. $(-1, 0)$
D.$\left (-\frac{1}{2},0 \right )$
E. $\left (-\frac{1}{3},0 \right )$
Pembahasan :
Titik singgung : $(1, -4)$
$f(x) = x^{3}-4x^{2}+2x-3$ → $f'(x) = 3x^2 -8x + 2$
$m = f'(1) = 3(1)2-8(1) + 2 = -3$
Persamaan garis singgung di titik $(1, -4)$ dengan gradien m = −3 adalah
$y -(-4)) = -3(x- 1)$
$y + 4 = -3x + 3$
Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
0 + 4 = −3x + 3
3x = −1
x = $-\frac{1}{3}$
0 − 12 = $\frac{3}{2}(x - 4)$
−24 = 3x − 12
−12 = 3x
x = −4
Diperoleh titik potong sumbu-x : $(-4, 0)$
Jawaban : B
4. UN 2010Koordinat titik potong garis singgung yang melalui titik $\left (-1,\frac{9}{2} \right )$ pada kurva $y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{4}{x}$ dengan sumbu y adalah...
A. $(0, -4)$
B. (0, -\frac{1}{2})
C. (0, \frac{9}{2})
D. (0, \frac{15}{2})
E. (0, 8)
Pembahasan :
Titik singgung : \$\left (-1,\frac{9}{2} \right )$
$f(x) = \frac{1}{2}x^2-4x-1 \rightarrow f'(x) = x + \frac{4}{x^{2}}$
$m = f'(-1) = -1+\frac{4}{(-1)^{2}} = 3$
Persamaan garis singgung di titik $\left ( -1,\frac{9}{2} \right )$ dengan gradien m = 3 adalah
$y - \frac{9}{2}= 3(x- (-1))$
$y = 3(x + 1) +\frac{9}{2}$
Titik potong sumbu-y ⇒ x = 0
$y = 3(0 + 1) + \frac{9}{2}$
$y = \frac{15}{2}$
Diperoleh titik potong sumbu-y : $(0, \frac{15}{2})$
Jawaban : D
5. UN 2010Diketahui h adalah garis singgung kurva $y=x^{3}-4x^{2}+2x-3$ pada titik $(1, -4)$. Titik potong garis h dengan sumbu X adalah...
A. $(-3, 0)$
B. $(-2, 0)$
C. $(-1, 0)$
D.$\left (-\frac{1}{2},0 \right )$
E. $\left (-\frac{1}{3},0 \right )$
Pembahasan :
Titik singgung : $(1, -4)$
$f(x) = x^{3}-4x^{2}+2x-3$ → $f'(x) = 3x^2 -8x + 2$
$m = f'(1) = 3(1)2-8(1) + 2 = -3$
Persamaan garis singgung di titik $(1, -4)$ dengan gradien m = −3 adalah
$y -(-4)) = -3(x- 1)$
$y + 4 = -3x + 3$
Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
0 + 4 = −3x + 3
3x = −1
x = $-\frac{1}{3}$
Diperoleh titik potong sumbu-x : $(-\frac{1}{3}, 0)$
Jawaban : E
A. y = x − 5 B. y = x − 3 C. y = x − 1 D. y = x + 3 E. y = x + 5
Pembahasan :
$y=2x^{2}-3x+5$
Untuk ordinat 4 maka
$y=2x^{2}-3x+5$
$2=2x^{2}-3x+5$
$2x^{2}-3x+5 = 0$
$(2x -1)(x -1) = 0$
$x = \frac{1}{2}$ atau x = 1
Untuk x = $\frac{1}{2}$ → $y = 2(\frac{1}{2})^2- 3(\frac{1}{2}) + 5 = 4$
Untuk x = 1 → $y = 2(1)^2 - 3(1) + 5 = 4$
Diperoleh titik singgung :
A$(\frac{1}{2}, 4)$ dan B$(1, 4)$
$f(x) = 2x^{2}-3x+5$ → $f'(x) = 4x -3$
mA = $f'(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2}) -3 = -1$
mB = $f '(1) = 4(1) - 3 = 1$
Persamaan garis singgung di titik A$(\left ( \frac{1}{2},4 \right )$ dengan gradien mA = −1 adalah
y − 4 = $-1\left ( x-\frac{1}{2} \right )$
⇒ $y = -x+\frac{9}{2}$
Persamaan garis singgung di titik B$(1, 4)$ dengan gradien mB = 1 adalah
$y -4 = 1(x -1)$
⇒ y = x + 3
Jawaban : D
A. y = 5x + 7 B. y = 5x - 1 C. y = x + 5 D. y = 3x - 7 E. y = 3x + 5
Pembahasan :
Titik potong kurva dan garis diperoleh dari persamaan
$2x^2-3x + 7 = 4x + 1$
$2x^2 -7x + 6 = 0$
$(2x -3)(x - 2) = 0$
$x = \frac{3}{2}$ atau x = 2
Untuk $x = \frac{3}{2}$ → $y = 4(\frac{3}{2}) + 1 = 7$
Untuk x = 2 → $y = 4(2) + 1 = 9$
Diperoleh titik potong kurva dan garis :
$(\frac{3}{2}, 7)$ dan $(2, 9)$
$f(x) = 2x^2 -3x + 7$ → $f'(x) = 4x -3$
Gradien garis singgung dititik $(\frac{3}{2}, 7)$ adalah
$m = f'(\frac{3}{2}) = 4(\frac{3}{2})- 3 = 3$
Jadi, PGS di titik $(\frac{3}{2}, 7)$ adalah
y - 7 = $3(x -\frac{3}{2}$
y - 7 = $3x -\frac{9}{2}$
y = $3x + \frac{5}{2}$
Gradien garis singgung di titik $(2, 9)$ adalah
$m = f'(2) = 4(2) -3 = 5$
Jadi, PGS di titik $(2, 9)$ adalah
$y -9 = 5(x - 2)$
$y -9 = 5x -10$
$y = 5x -1$
Jawaban : B
Jawaban : E
6. UN 2016Salah satu persamaan garis singgung kurva $y=2x^{2}-3x+5$ pada titik yang berordinat 4 adalah...
A. y = x − 5 B. y = x − 3 C. y = x − 1 D. y = x + 3 E. y = x + 5
Pembahasan :
$y=2x^{2}-3x+5$
Untuk ordinat 4 maka
$y=2x^{2}-3x+5$
$2=2x^{2}-3x+5$
$2x^{2}-3x+5 = 0$
$(2x -1)(x -1) = 0$
$x = \frac{1}{2}$ atau x = 1
Untuk x = $\frac{1}{2}$ → $y = 2(\frac{1}{2})^2- 3(\frac{1}{2}) + 5 = 4$
Untuk x = 1 → $y = 2(1)^2 - 3(1) + 5 = 4$
Diperoleh titik singgung :
A$(\frac{1}{2}, 4)$ dan B$(1, 4)$
$f(x) = 2x^{2}-3x+5$ → $f'(x) = 4x -3$
mA = $f'(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2}) -3 = -1$
mB = $f '(1) = 4(1) - 3 = 1$
Persamaan garis singgung di titik A$(\left ( \frac{1}{2},4 \right )$ dengan gradien mA = −1 adalah
y − 4 = $-1\left ( x-\frac{1}{2} \right )$
⇒ $y = -x+\frac{9}{2}$
Persamaan garis singgung di titik B$(1, 4)$ dengan gradien mB = 1 adalah
$y -4 = 1(x -1)$
⇒ y = x + 3
Jawaban : D
7. UN 2017Diketahui grafik fungsi $y = 2x^2-3x + 7$ berpotongan dengan garis y = 4x + 1. Salah satu persamaan garis singgung yang melalui titik potong kurva dan garis tersebut adalah ...
A. y = 5x + 7 B. y = 5x - 1 C. y = x + 5 D. y = 3x - 7 E. y = 3x + 5
Pembahasan :
Titik potong kurva dan garis diperoleh dari persamaan
$2x^2-3x + 7 = 4x + 1$
$2x^2 -7x + 6 = 0$
$(2x -3)(x - 2) = 0$
$x = \frac{3}{2}$ atau x = 2
Untuk $x = \frac{3}{2}$ → $y = 4(\frac{3}{2}) + 1 = 7$
Untuk x = 2 → $y = 4(2) + 1 = 9$
Diperoleh titik potong kurva dan garis :
$(\frac{3}{2}, 7)$ dan $(2, 9)$
$f(x) = 2x^2 -3x + 7$ → $f'(x) = 4x -3$
Gradien garis singgung dititik $(\frac{3}{2}, 7)$ adalah
$m = f'(\frac{3}{2}) = 4(\frac{3}{2})- 3 = 3$
Jadi, PGS di titik $(\frac{3}{2}, 7)$ adalah
y - 7 = $3(x -\frac{3}{2}$
y - 7 = $3x -\frac{9}{2}$
y = $3x + \frac{5}{2}$
Gradien garis singgung di titik $(2, 9)$ adalah
$m = f'(2) = 4(2) -3 = 5$
Jadi, PGS di titik $(2, 9)$ adalah
$y -9 = 5(x - 2)$
$y -9 = 5x -10$
$y = 5x -1$
Jawaban : B
![Pembahasan Soal Kimia - Pengenalan Ilmu [Pilihan Ganda]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyOKW0F7tRDWhvE76jj63rIBDLqRYdpwyj5XPzizWKCZfLJ76Yr6L0-Nw23zwWfyi6vTKQM9A-TR_JdG7hR8_0wA36mymKnN29tgYIuwfjRKglokv87qQXy3weug39CvCUYtEaRgkkkX34/s220/Pembahasan+Soal+Kimia+-+Pengenalan+Ilmu+Kimia.png "Pembahasan Soal Kimia - Pengenalan Ilmu [Pilihan Ganda]")
