Pembahasan Soal Matematika - Aplikasi Turunan
Pembahasan soal Ujian Nasional $(UN)$ SMA bidang studi matematika IPA tentang Aplikasi Turunan dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan maksimum dan minimum.
1. UN 2005
Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar dibawah ini. Agar luasnya maksimum panjang kerangka $(p)$ tersebut adalah...
A. 16 m B. 18 m C. 20 m D. 22 m E. 24 m
Pembahasan :
Persamaan kerangka :
3p + 4l = 120
4l = 120 − 3p
l = 30 − $\frac{3}{4}p$
Persamaan luas :
L = p × 2l
L = p × 2$(30- \frac{3}{4}p)$
L = 60p − $\frac{3}{2}p^2$
Luas akan maksimum jika :
L' = 0
60 − 3p = 0
⇒ p = 20
Jadi, panjang kerangka agar luas maksimum adalah 20 m.
Jawaban : C
2. UN 2005
Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam dengan biaya per jam $\left ( 4x-800+\frac{120}{x} \right )$ ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu...
A. 40 jam B. 60 jam C. 100 jam D. 120 jam E. 150 jam
Pembahasan :
Biaya per jam : 4x − 800 + $\frac{120}{x}$
Biaya untuk x jam :
$B(x) = (4x - 800 + \frac{120}{x}x$
$B(x) = 4x^2 - 800x + 120$
Biaya akan minimum jika :
$B'(x) = 0$
8x − 800 = 0
⇒ x = 100
Jadi, waktu yang diperlukan agar biaya minimum adalah 100 jam.
Jawaban : C
3. UN 2005
Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus $x=f(t)=\sqrt{3t+1}$ [s dalam meter dan t dalam detik]. Kecepatan partikel pada saat t = 8 detik adalah...
A. $\frac{3}{10}$ m/detik
B.$\frac{3}{5}$ m/detik
C. $\frac{3}{2}$ m/detik
D. 3 m/detik
E. 5 m/detik
Pembahasan :
$f(t) = \sqrt{3t+1}$
$f'(t) = \frac{3}{2\sqrt{3t+1}}$
$v(t) = \frac{df}{dt}$
$v(t) = f'(t) =\frac{3}{2\sqrt{3t+1}}$
$v(8) = \frac{3}{2\sqrt{3.8+1}}$
$v(8) = \frac{3}{10}$
Jadi, kecepatan partikel pada t = 8 adalah $\frac{3}{10}$ m/detik
Jawaban : A
4. UN 2006
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal Vo m/detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi $h(t)=100+40t-4t^{2}$. Tinggi masksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah...
A. 160 m B. 200 m C. 340 m D. 400 m E. 800 m
Pembahasan :
$h(t)=100+40t-4t^{2}$
⇒ h'(t) = 40 − 8t
Tinggi peluru akan maksimum, jika :
$h'(t) = 0$
40 − 8t = 0
⇒ t = 5
Jadi, tinggi maksimum peluru dicapai pada saat t = 5, dengan tinggi maksimumnya adalah
$h(5) = 100 + 40(5)- 4(5)^2$
$h(5) = 100 + 200 - 100$
$h(5) = 200$
Jawaban : B
5. UN 2006
Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya $4x-160+\frac{2000}{x}$ ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah...
A. Rp 200.000,00
B. Rp 400.000,00
C. Rp 560.000,00
D. Rp 600.000,00
E. Rp 800.000,00
Pembahasan :
Biaya per hari : $\left (4x-160+\frac{2000}{x} \right )$
Biaya x hari :
$B(x) =\left (4x-160+\frac{2000}{x} \right )x$
$B(x) = 4x^2 - 160x + 2000$
Biaya akan minimum jika :
$B'(x) = 0$
8x − 160 = 0
⇒ x = 20
Jadi, biaya akan minimum jika pekerjaan diselesaikan dalam 20 hari, dengan biaya minimum per hari
$= 4x -160 + \frac{2000}{x}$
$= 4(20) - 160 + \frac{2000}{20}$
$= 20\ (ribuan\: rupiah)$
Jawaban : -
6. UN 2006
Luas permukaan balok dengan alas persegi adalah 150 $cm^2$. Agar diperoleh volume balok yang maksimum, panjang alas balok adalah...
A. 3 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 15 cm E. 25 cm
Pembahasan :
Karena alas berbentuk persegi maka p = l
L = 150
$2(pl + pt + lt) = 150$
$pl + pt + lt = 75$
$p^2 + pt + pt = 75 (p = l)$
$2pt = 75 - p^2$
t = $\frac{75-p^{2}}{2p}$
V = p. l. t
$V = p^2t (p = l)$
$V = p^2\left (\frac{75-p^{2}}{2p} \right )$
$V = \frac{75}{2}p - \frac{1}{2}p^3$
Volume akan maksimum, jika :
V' = 0
$\frac{75}{2} -\frac{3}{2}p^2 = 0$
$75 - 3p^2 = 0$
⇒ p = 5
Jadi, volume akan maksimum jika panjang balok 5 cm.
Jawaban : B
7. UN 2007
Perhatikan gambar !
Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah...
A. $(2, 5)$
B. $(2, \frac{5}{2})$
C. $(2, \frac{2}{5})$
D. $(\frac{5}{2}, 2)$
E. $(\frac{2}{5}, 2)$
Pembahasan :
Cara I
Persamaan garis yang memotong sumbu-x di [4, 0] dan memotong sumbu-y di [0, 5] adalah :
5x + 4y = 5 . 4
5x + 4y = 20
4y = 20 − 5x
$y = 5 - \frac{5}{4}x$
L = x . y
$L = x\left ( 5-\frac{5}{4}x \right )$
$L = 5x -\frac{5}{4}x^2$
$L = 5x -\frac{5}{4}x^2$
Luas akan maksimum, jika :
L' = 0
5 − $\frac{5}{2}x = 0$
⇒ x = 2
5x + 4y = 20
$5(2) + 4y = 20$
$5(2) + 4y = 20$
⇒ y = $\frac{5}{2}$
$M = (2, \frac{5}{2})$
Cara II
Sebuah garis dengan
titik potong sumbu-x :$(a, 0)$
titik potong sumbu-y :$(0, b)$
$M(x, y)$ terletak pada garis
|xy| akan maksimum jika M$\left ( \frac{a}{2},\,\frac{b}{2} \right )$
a = 4 dan b = 5
$M\left ( \frac{a}{2},\,\frac{b}{2} \right )$
$M(2, \frac{5}{2})$
Jawaban : B
8. UN 2008
Sebuah kotak tanpa tutup dengan alasnya berbentuk persegi, mempunyai voleme 4 m2 terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar dan tinggi kotak berturut-turut adalah...
A. 2 m, 1 m, 2 m
B. 2 m, 2 m, 1 m
C. 1 m, 2 m, 2 m
D. 4 m, 1 m, 1 m
E. 1 m, 1 m, 4 m
B. 2 m, 2 m, 1 m
C. 1 m, 2 m, 2 m
D. 4 m, 1 m, 1 m
E. 1 m, 1 m, 4 m
Pembahasan :
Karena alas berbentuk persegi, maka p = l
Volume kotak :
V = p. l. t
$V = p^2t (p = l)$
$4 = p^2t$
$t = \frac{4}{p^{2}}$
Luas kotak tanpa tutup :
$L = pl + 2pt + 2lt$
$L = p^2 + 2pt + 2pt (p = l)$
$L = p^2 + 4pt$
$L = p^2 + 4p\left (\frac{4}{p^{2}} \right )$
$L = p^2 + \frac{16}{p}$
$L = p^2 + 2pt + 2pt (p = l)$
$L = p^2 + 4pt$
$L = p^2 + 4p\left (\frac{4}{p^{2}} \right )$
$L = p^2 + \frac{16}{p}$
Luas akan maksimum jika :
L' = 0
$2p -\frac{16}{p^{2}} = 0$
$2p = \frac{16}{p^{2}}$
$p^3 = 8$
$p^3 = 2^3$
$2p = \frac{16}{p^{2}}$
$p^3 = 8$
$p^3 = 2^3$
⇒ p = 2
⇒ l = 2
$t = \frac{4}{p^{2}}= \frac{4}{2^{2}}$
⇒ t = 1
Jadi, ukuran panjang, lebar dan tinggi berturut-turut adalah 2 m, 2 m, 1 m.
Jawaban : B
9. UN 2009
Jumlah bilangan positif x dan y adalah 18. Nilai maksimum xy adalah...
A. 100 B. 81 C. 80 D. 70 E. 72
Pembahasan :
x + y = 18
y = 18 − x
Misalkan :
L = xy
$L = x (18- x)$
$L = 18x -x^2$
$L = 18x -x^2$
L akan maksimum jika :
L' = 0
18 − 2x = 0
⇒ x = 9
x + y = 18
9 + y = 18
⇒ y = 9
Jadi, nilai maksimum xy = 9 . 9 = 81
Jawaban : B
10. UN 2009
Seorang petani menyemprotkan obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus $f(t)=15t^{2}-t^{3}$. Reaksi maksimum tercapai setelah...
A. 3 jam B. 5 jam C. 10 jam D. 15 jam E. 30 jam
Pembahasan :
Fungsi reaksi :
$f(t)=15t^{2}-t^{3}$
Reaksi akan maksimum jika :
$f'(t) = 0$
$30t - 3t^2 = 0$
$3t (10- t) = 0$
$30t - 3t^2 = 0$
$3t (10- t) = 0$
t = 0 atau t = 10
Jadi, reaksi maksimum tercapai setelah 10 jam.
Jawaban : C
