Menentukan Nilai Stasioner dan Jenis Ekstrim Fungsi
Jika $f\left ( x \right )$ diferensiabel di x = a dengan $f'\left ( a \right )=0$ maka $f\left ( a \right )$ adalah nilai stasioner di x = a dan titik $\left (a, f\left ( a \right ) \right )$ disebut titik stasioner dari $f\left ( x \right )$.Perhatikan grafik fungsi berikut !
Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa $f'\left ( a \right )$ adalah nilai stasioner di x = a dan $f'\left ( b \right )$ adalah nilai stasioner di x = b, dimana turunan pertama di titik-titik tersebut bernilai nol. Selanjutnya titik $\left (a, f\left ( a \right ) \right )$ dan $\left (b, f\left ( b \right ) \right )$ disebut titik stasioner dari fungsi f.
Contoh 1
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi $f\left ( x \right )=x^{2}-4x$
Pembahasan :
$f'\left ( x \right ) = 2x-4$
$f\left ( x \right )$ stasioner ⇒ $f'\left ( x \right )$ = 0
⇔ 2x − 4 = 0
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Jadi, nilai stasioner dicapai pada saat x = 2
Nilai stasioner :
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2
Jadi, nilai stasioner dicapai pada saat x = 2
Nilai stasioner :
$f\left ( x \right )=x^{2}-4x$
$f\left ( a \right ) = 2^{2}-4\left ( 2 \right )=-4$
Titik stasioner : $\left (2,-4 \right )$
Contoh 2
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi $f\left ( x \right )=x^{3}-3x+1$
Contoh 2
Tentukan nilai stasioner dan titik stasioner dari fungsi $f\left ( x \right )=x^{3}-3x+1$
Jawab :
$f'\left ( x \right )=3x^{2}+3$
$f'\left ( x \right )=3x^{2}+3$
$f\left ( x \right )$ stasioner ⇒ $f'\left ( x \right )=0$
⇔$3x^{2}+3=0$
⇔$x^{2}+1=0$
⇔$\left (x + 1 \right )\left (x -1 \right ) = 0$
⇔ x = −1 atau x = 1
Nilai stasioner pada x = −1
⇔$3x^{2}+3=0$
⇔$x^{2}+1=0$
⇔$\left (x + 1 \right )\left (x -1 \right ) = 0$
⇔ x = −1 atau x = 1
Nilai stasioner pada x = −1
$f\left ( x \right )=x^{3}-3x+1$
$f\left ( -1 \right )=\left (-1 \right )^{3}-3\left (-1 \right )+1$
$f\left ( -1 \right )= 3)$
Nilai stasioner pada x = 1 :
$f\left ( x \right )=x^{3}-3x+1$
$f\left ( 1 \right )=\left (1 \right )^{3}-3\left (1 \right )+1$
$f\left ( 1 \right )= -1)$
Titik stasioner : $\left (-1,3 \right )$ dan $\left (1,-1 \right )$
Nilai-nilai stasioner sering juga disebut sebagai bakal calon nilai ektrim. Ada 2 jenis ektrim fungsi, yaitu nilai balik maksimum dan nilai balik minimum. Nilai balik maksimum/minimum sering juga disebut dengan nilai maksimum/minimum relatif atau maksimum/minimum lokal.
Untuk menentukan jenis ektrim suatu fungsi dapat dilakukan dengan uji turunan pertama dan uji turunan kedua.
Uji Turunan Pertama
Misalkan $f\left ( a \right )$ adalah nilai stasioner di x = a.
1. $f\left ( a \right )$ adalah nilai balik maksimum, jika :
Contoh 3
Dengan menggunakan uji turunan pertama, tentukan jenis ekstrim dari fungsi $f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$f\left ( -1 \right )=\left (-1 \right )^{3}-3\left (-1 \right )+1$
$f\left ( -1 \right )= 3)$
Nilai stasioner pada x = 1 :
$f\left ( x \right )=x^{3}-3x+1$
$f\left ( 1 \right )=\left (1 \right )^{3}-3\left (1 \right )+1$
$f\left ( 1 \right )= -1)$
Titik stasioner : $\left (-1,3 \right )$ dan $\left (1,-1 \right )$
Nilai-nilai stasioner sering juga disebut sebagai bakal calon nilai ektrim. Ada 2 jenis ektrim fungsi, yaitu nilai balik maksimum dan nilai balik minimum. Nilai balik maksimum/minimum sering juga disebut dengan nilai maksimum/minimum relatif atau maksimum/minimum lokal.
Untuk menentukan jenis ektrim suatu fungsi dapat dilakukan dengan uji turunan pertama dan uji turunan kedua.
Uji Turunan Pertama
Misalkan $f\left ( a \right )$ adalah nilai stasioner di x = a.
1. $f\left ( a \right )$ adalah nilai balik maksimum, jika :
untuk x < a maka f '(x) > 0 (naik)2. $f\left ( a \right )$ adalah nilai balik minimum, jika :
untuk x > a maka f '(x) < 0 (turun)
untuk x < a maka f '(x) < 0 (turun)
untuk x > a maka f '(x) > 0 (naik)
Contoh 3
Dengan menggunakan uji turunan pertama, tentukan jenis ekstrim dari fungsi $f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
Pembahasan :
$f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$f'\left ( x \right )=3x^{2}-12x+9$
$f'\left ( x \right )=0$
⇔ $3x^{2}-12x+9 = 0$
⇔ $x^{2}-4x+3 = 0$
⇔ $\left (x- 1 \right )\left (x -3 \right ) = 0$
⇔ x = 1 atau x = 3
Nilai stasioner di x = 1 adalah
$f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$f\left ( 1 \right )=1^{3}-6\left (1 \right )^{2}+9\left (1 \right )+1$
$f\left ( 1 \right )= 5$
Nilai stasioner di x = 3 adalah
$f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$f\left ( 3 \right )=3^{3}-6\left (3 \right )^{2}+9\left (3 \right )+1$
$f\left ( 3 \right )= 1$
Karena pada x = 1 terjadi perubahan dari naik menjadi turun, maka $f\left ( 1 \right )= 5$ adalah nilai balik maksimum
Karena pada x = 3 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f$f\left ( 3 \right )= 1$ adalah nilai balik minimum.
Sketsa grafik
Uji Turunan Kedua
Misalkan $f\left ( a \right )$ adalah nilai stasioner di x = a.
Dengan menggunakan uji turunan kedua, tentukan jenis ekstrim dari fungsi $ \f\left ( a \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
Pembahasan:
$ \f\left ( a \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$ \f'\left ( a \right )=3x^{2}-12x+9$
$ \f"\left ( a \right )=6x-12$
$ \f'\left ( a \right )=0$
⇔$x^{3}-6x^{2}+9x+1=0$
⇔$3x^{2}-12x+9=0$
⇔$x^{2}-4x+3=0$
⇔$\left (x- 1 \right )\left (x -3 \right )$
⇔ x = 1 atau x = 3
Nilai stasioner di x = 1 adalah
$f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$f\left ( 1 \right )=1^{3}-6\left (1 \right )^{2}+9\left (1 \right )+1$
$f\left ( 1 \right )= 5$
Nilai stasioner di x = 3 adalah
$f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$f\left ( 3 \right )=3^{3}-6\left (3 \right )^{2}+9\left (3 \right )+1$
$f\left ( 3 \right )= 1$
Uji turunan kedua
$\f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$ f'\left ( x \right )=3x^{2}-12x+9$
$ f"\left ( x \right )=6x-12$
$ f"\left ( 1 \right )=6 \left ( 1 \right )-12$
$\f"\left ( 1 \right )=-6$
Jadi -6<0
Karena $ \f"\left ( 1 \right )<0$ maka $ \f\left ( 1 \right )=5$ adalah nilai balik maksimum
$f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$f'\left ( x \right )=3x^{2}-12x+9$
$f"\left ( x \right )=6x-12$
$f"\left ( 3 \right )=6 \left ( 3 \right )-12$
$f"\left ( 3 \right )=6$
Jadi -6>0
Karena $f"\left ( 3 \right )<0$ maka $f\left ( 3 \right )=6$ adalah nilai balik minimum
Untuk contoh soal lainnya yang berkaitan dengan Menentukan Nilai Stasioner dan Jenis Ekstrim Fungsi bisa dilihat pada contoh soal dan pembahasannya pada link berikut ini
Karena pada x = 3 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f$f\left ( 3 \right )= 1$ adalah nilai balik minimum.
Sketsa grafik
Uji Turunan Kedua
Misalkan $f\left ( a \right )$ adalah nilai stasioner di x = a.
Jika $f"\left ( a \right )< 0$ maka f(a) adalah nilai balik maksimum.Contoh 4
Jika $f"\left ( a \right )> 0$ maka f(a) adalah nilai balik minimum.
Jika $f"\left ( a \right )= 0$ maka jenis ekstrim belum dapat ditetapkan (gunakan uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrimnya)
Dengan menggunakan uji turunan kedua, tentukan jenis ekstrim dari fungsi $ \f\left ( a \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
Pembahasan:
$ \f\left ( a \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$ \f'\left ( a \right )=3x^{2}-12x+9$
$ \f"\left ( a \right )=6x-12$
$ \f'\left ( a \right )=0$
⇔$x^{3}-6x^{2}+9x+1=0$
⇔$3x^{2}-12x+9=0$
⇔$x^{2}-4x+3=0$
⇔$\left (x- 1 \right )\left (x -3 \right )$
⇔ x = 1 atau x = 3
Nilai stasioner di x = 1 adalah
$f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$f\left ( 1 \right )=1^{3}-6\left (1 \right )^{2}+9\left (1 \right )+1$
$f\left ( 1 \right )= 5$
Nilai stasioner di x = 3 adalah
$f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$f\left ( 3 \right )=3^{3}-6\left (3 \right )^{2}+9\left (3 \right )+1$
$f\left ( 3 \right )= 1$
Uji turunan kedua
$\f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$ f'\left ( x \right )=3x^{2}-12x+9$
$ f"\left ( x \right )=6x-12$
$ f"\left ( 1 \right )=6 \left ( 1 \right )-12$
$\f"\left ( 1 \right )=-6$
Jadi -6<0
Karena $ \f"\left ( 1 \right )<0$ maka $ \f\left ( 1 \right )=5$ adalah nilai balik maksimum
$f\left ( x \right )=x^{3}-6x^{2}+9x+1$
$f'\left ( x \right )=3x^{2}-12x+9$
$f"\left ( x \right )=6x-12$
$f"\left ( 3 \right )=6 \left ( 3 \right )-12$
$f"\left ( 3 \right )=6$
Jadi -6>0
Karena $f"\left ( 3 \right )<0$ maka $f\left ( 3 \right )=6$ adalah nilai balik minimum
Untuk contoh soal lainnya yang berkaitan dengan Menentukan Nilai Stasioner dan Jenis Ekstrim Fungsi bisa dilihat pada contoh soal dan pembahasannya pada link berikut ini
![Pembahasan Soal Matematika - Barisan Aritmatika [versi 1]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMtba1SEosevhJ1Igskc9gjRb-0S_CXsJcgP2iIOJVg7NohrjUretEAAiSJvEGU29q3rWn93M5w-8-FPjWRlHhKIZ_p299jXAxxmxVy1Vyvs0spFaqT0_0mrtdm6p0Ee5tE8Bp9BCsjBuV/s220/Barisan+Aritmatika+soal.png "Pembahasan Soal Matematika - Barisan Aritmatika [versi 1]")
